Физики определили работу электромагнитного поля в присутствии нестационарных зарядов

Армянские физики вывели калибровочно-инвариантный гамильтониан (энергию) электромагнитного поля, который позволяет корректно определить работу поля в присутствии нестационарных зарядов. С помощью этого гамильтониана ученые сформулировали статистическую механику электромагнитного поля, доказали для него второй закон термодинамики и связали «электродинамическую стрелу времени» с термодинамической. Статья опубликована в Physical Review Letters, препринт работы выложен на сайте arXiv.org.

Чтобы сформулировать термодинамику и статистическую механику, необходимо знать гамильтониан (энергию) системы. Эта функция задает распределение вероятностей состояний, по которому усредняются микроскопические параметры системы, и позволяет рассчитать основные термодинамические величины — энергию, работу и теплоту. Первый, второй и третий законы термодинамики целиком посвящены превращениям энергии. В нестационарном случае, в котором классическая термодинамика перестает работать, гамильтонова формулировка становится еще более важной, поскольку она позволяет строго описать эволюция системы. Как правило, гамильтониан определяют с помощью преобразования Лежандра от лагранжиана системы.

К сожалению, в случае электродинамики применить этот подход нельзя, поскольку стандартный гамильтониан электромагнитного поля в присутствии нестационарных зарядов не инвариантен относительно калибровочных преобразований. Следовательно, с его помощью нельзя корректно определить работу. Грубо говоря, при калибровочном преобразовании электрическое и магнитное поле системы «подкручиваются» таким образом, чтобы все наблюдаемые величины остались постоянными. Калибровочная инвариантность уравнений электродинамики уменьшает число поляризаций фотона и «отбирает» у него массу; подробнее про эту фундаментальную симметрию можно прочитать в статье «Большие калибры физики». К сожалению, в рамках классической электродинамики сделать гамильтониан калибровочно-инвариантным нельзя: чтобы состояние системы осталось прежним, нужно «подкручивать» не только электромагнитное поле, но и фазу волновой функции — либо требовать, чтобы плотность электрического заряда оставалось постоянной в любой точке пространства. Следовательно, построить неравновесную термодинамику электромагнитного поля тоже нельзя. По крайней мере, так ученые считали до последнего времени.

Тем не менее, физики Армен Аллавердян и Давид Караханян исправили этот недостаток и построили калибровочно-инвариантный гамильтониан электромагнитного поля, который можно использовать в неравновесной термодинамике. Для этого они нестандартным образом избавились от нефизических степеней свободы поля, которые запрещены условием калибровочной инвариантности. Сначала исследователи вывели уравнения на скалярный и векторный потенциал, варьируя стандартное действие электродинамики. Затем они решили одно из этих уравнений, выразили скалярный потенциал через плотность зарядов и векторный потенциал, а затем подставили полученное выражение в исходный лагранжиан. В результате физики получили функцию, которая зависит только от плотности зарядов и напряженности магнитного поля. С помощью этой функции ученые определили гамильтониан, который разбивается на электростатическую энергию, «свободную магнитную» часть и часть, описывающую взаимодействие.

Затем исследователи проверили, что полученный гамильтониан инвариантен относительно калибровочных преобразований даже в том случае, если плотность зарядов меняется во времени. Для этого они использовали тот факт, что найденная функция энергии зависит от плотности зарядов и ротора плотности тока — независимых параметров, которые не связаны между собой дополнительными уравнениями. Кроме того, ученые связали гамильтониан с энергией Пойнтинга (энергией свободного электромагнитного поля). В результате физикам удалось доказать, что гамильтониан сохраняется в том случае, если производная электрического тока равна нулю, а плотность зарядов ограничена некоторой постоянной величиной. Интересно, что в этом подходе работа электромагнитного поля не обязательно связана с излучением электромагнитных волн: например, если заряды будут двигаться ускоренно, но прямолинейно, они будут излучать, хотя работа поля будет равна нулю.

Используя построенный гамильтониан, физики сформулировали статистическую механику электромагнитного поля. В частности, ученые проверили для него второй закон термодинамики — показали, что в циклических процессах энергия поля не убывает. Правда, исследователи ограничились частным случаем, в котором исходное распределение вероятностей совпадает с распределением Гиббса при нулевой температуре. По словам авторов, этот закон позволяет связать «электродинамическую стрелу времени» с термодинамической и космологической «стрелой».

Кроме того, ученые проверили, можно ли в рамках их подхода «почувствовать» массу фотона, которая нарушает калибровочную инвариантность теории. Для этого они повторили все выкладки, предполагая массу отличной от нуля, и заново вывели гамильтониан. Оказалось, что в этом случае определение работы поля совершенно другое — следовательно, если ее удастся независимо измерить, можно будет проверить, равна ли масса фотона нулю.

Хотя большинство открытий в физике происходят на переднем крае и посвящены плохо исследованным явлениям, иногда ученым приходятся «закрывать дыры» в хорошо изученных предметах. Например, в 2015 году студент ВШЭ Даниил Калинов опубликовал в Physical Review D работу, в которой он исследовал излучение заряженных частиц, движущихся с постоянным ускорением. Несмотря на то, что этот вопрос кажется элементарным, до последнего времени ученые не могли договориться, есть это излучение или нет. Калинов строго доказал, что покоящийся наблюдатель будет регистрировать излучение. Работа Аллавердяна и Караханяна также относится к разряду «закрывающих дыры» работ.

Симметрии, в том числе калибровочные, играют очень важную роль в теоретической физике — они позволяют выписать действие и вывести уравнения движения «из первых принципов». Посмотреть, как это обычно происходит, можно в нашем материале «На пути к теории всего», в котором разбирается несколько простых, но важных симметрий.

Дмитрий Трунин