Двойник черной дыры

Идея голографической дуальности, или AdS/CFT-соответствия, — одна из самых красивых и популярных идей современной физики. Впервые эта идея была сформулирована Хуаном Малдасеной еще в 1997 году, однако физики до сих пор продолжают ее развивать. К настоящему времени пионерскую статью Малдасены процитировали почти 15 тысяч раз; более того, даже спустя двадцать лет она стабильно набирает около тысячи цитирований в год. Это абсолютный рекорд популярности сюжета из физики высоких энергий. Причина популярности AdS/CFT-соответствия кроется в многообещающих результатах, которые можно получить в рамках этой идеи. В частности, с ее помощью можно объяснить, почему энтропия черной дыры пропорциональна площади горизонта событий. В этом материале мы разберемся, что такое голографическая дуальность и почему она так нравится физикам.

Простой пример «голографии»

Для начала мы рассмотрим несколько простых примеров «голографичности» и дуальности, а потом узнаем, как они реализуются в AdS/CFT-соответствии и почему физики так любят эту идею.

Прежде чем мы будем говорить об AdS/CFT-соответствии, рассмотрим упрощенный вариант «голографии» — систему, поведение которой полностью определяется условиями на ее границе. Чтобы сделать этот пример одновременно строгим и наглядным (насколько это возможно), сначала мы разберем формальную математическую часть, а потом рассмотрим простой физический пример.

Итак, рассмотрим дифференциальное уравнение вида ∆u=0, где u(x) — дважды дифференцируемая функция, а ∆ — трехмерный оператор Лапласа (∆u≡u_xx+u_yy+u_zz, нижний индекс обозначает производную по указанной переменной). Здесь и далее мы будем обозначать вектора жирным шрифтом.

Вообще говоря, это уравнение имеет бесконечное число решений, пока мы не наложим на функцию u какие-нибудь дополнительные ограничения. Поэтому будем считать, что функция u задана на некоторой области Ω, а на границе области ∂Ω удовлетворяет определенным краевым условиям. Например, можно зафиксировать на границе значение функции: u|_∂Ω=u₀(x), или ее производную вдоль внешней нормали к области: (∂u/∂n)|_∂Ω=u₁(x). При этом функции u₀(x) и u₁(x) считаются непрерывными. Первый вариант математики называют краевыми условиями Дирихле, второй — краевыми условиями Неймана.

Важно, что оба этих граничных условия полностью определяют поведение функции внутри области Ω: решение задачи Дирихле всегда существует и единственно, а решение задачи Неймана существует и единственно, если интеграл от функции u₁(x) вдоль ∂Ω равен нулю. Если функция u(x) описывает какое-то поле, то его значения в заданном объеме легко можно найти, решая краевую задачу Дирихле или Неймана. Другими словами, такое поле можно интерпретировать как своеобразную голограмму, вся информация о которой содержится на двумерной поверхности.

Поскольку уравнение вида ∆u = 0 является частным случаем уравнения теплопроводности и закона Гаусса, его «голографичность» сильно упрощает решение некоторых физических задач.

В частности, на этом свойстве основан метод изображений, который заменяет границу рассматриваемой области источниками-изображениями, расположенными за пределами области и воспроизводящими напряженность поля на границе. Как правило, найти положение таких источников гораздо проще, чем искать распределение заряда на поверхности, а теорема существования и единственности гарантирует, что поле в реальной и «воображаемой» задаче совпадет. Как правило, метод изображения разбирают в школе во время изучения электростатики, однако он применяется и в более сложных теориях.

Простые примеры дуальности

Кроме того, прежде чем говорить о дуальностях, попробуем разобраться, что это слово вообще означает. Грубо говоря, две теории называются дуальными, если они разными словами описывают одну и ту же ситуацию. На более формальном языке можно сказать, что дуальные теории переходят друг в друга, если определенным образом сопоставить элементы одной теории элементам другой теории и переопределить отношения между элементами.

Чтобы проиллюстрировать это определение, рассмотрим простой геометрический пример. Представим себе плоскость, на которой нарисованы три равноудаленные точки, и попарно соединим точки линиями. В этом рисунке каждая точка принадлежит ровно двум прямым, а каждая прямая пересекает ровно две точки. Если теперь поменять местами понятия «точка» и «прямая», а также отношения «пересекается» и «принадлежит», то картинка не изменится: каждая точка, растянутая в прямую, будет пересекать две прямые, сжатые в точку, а каждая экс-прямая будет принадлежать двум экс-точкам. Даже симметрия задачи сохранится.

Получается, что при таком преобразовании система переходит сама в себя, то есть она дуальна сама себе (физики говорят: самодуальна). Физические теории оперируют менее абстрактными объектами, чем эта геометрическая задача, однако суть дуальности остается прежней.

В частности, похожими свойствами обладает классическая электродинамика. В самом деле, в вакууме уравнения Максвелла выглядят подозрительно симметрично:

Здесь c обозначает скорость света, ∇ — оператор набла, вектора E и H — напряженность электрического и магнитного поля, ρ_e и ρ_m — плотность электрического и магнитного заряда, а J_e и J_m — электрический и магнитный ток. Конечно, в природе магнитных зарядов не существует, однако пока что мы предположим, что их плотность отлична от нуля. Легко заметить, что эта теория переходит сама в себя, если повернуть поля и их источники на действительный угол ξ:

Если мы хотим описать теорию с источниками, то угол ξ нужно выбрать таким образом, чтобы магнитный заряд и магнитный ток обратились в ноль. В этом случае мы получим уравнения Максвелла в стандартной форме. Если же мы рассмотрим свободную теорию, в которой ρ_e = ρ_m = 0 и J_e = J_m =0, то дополнительное условие на угол ξ исчезнет, а физический смысл электрического и магнитного поля размоется. В частности, если выбрать ξ=90°, электрическое поле перейдет в магнитное: E→H, а магнитное — в электрическое: H→−E. При этом верхняя и нижняя пара уравнений Максвелла поменяются местами. Следовательно, теория не изменится, если мы переставим электрическое и магнитное поле, а потом повернем их на 90 градусов. Поэтому свободная электродинамика в вакууме тоже дуальна самой себе.

Подчеркнем, что симметрия и самодуальность теории — это не одно и то же. На самом деле перестановка E→H, H→−E имеет глубокий физический смысл, который теряется в приведенном выше наивном «выводе» самодуальности.

Если переписать уравнения Максвелла в ковариантном виде, то окажется, что такая перестановка меняет местами динамические уравнения, которые описывают поведение полей, и геометрические уравнения, которые выполняются по определению. Чтобы найти динамические переменные в новой теории, нужно провести нетривиальную цепочку преобразований. В результате окажется, что электромагнитное поле исходной теории сложным образом отображается в электромагнитное поле дуальной теории, а константа связи (элементарный заряд) отображается в обратную константу связи: e→1/e.

Тем не менее, со стороны дуальная теория выглядит как свободная теория электромагнетизма. Это поведение отличается от поведения теории при преобразованиях симметрии (например, повороты и лоренцовские бусты), после которых параметры теории остаются прежними, а исходные и преобразованные поля отвечают одним и тем же степеням свободы.

AdS и CFT

AdS/CFT-соответствие совмещает в себе идеи дуальности и «голографичности». С одной стороны, оно связывает между собой две нетривиальные теории: квантовую теорию гравитации в (D+1)-мерном пространстве анти-де Ситтера и D-мерную конформную теорию поля. С другой стороны, конформная теория «живет» на границе пространства, в котором действует квантовая гравитация, а значит, представляет собой своеобразную голограмму этого пространства. Давайте разберемся, о каких теориях идет речь.

Первая часть аббревиатуры «AdS/CFT» обозначает квантовую теорию гравитации в (D+1)-мерном пространстве-времени анти-де Ситтера, то есть пространстве с постоянной отрицательной кривизной. Для описания пространственной части трехмерного пространства-времени анти-де Ситтера (AdS₃) удобнее всего использовать модель Пуанкаре (Poincaré disk), в которой бесконечное пространство отображается в единичный диск. При этом геодезическими линиями выступают дуги окружностей, перпендикулярные границе диска. Если сложить такие диски в стопку, образующую сплошной цилиндр, то получится модель полноценного пространства-времени AdS₃. Обобщения на случай бо́льших размерностей можно построить аналогичным образом.

Свойства пространства анти-де Ситтера сильно отличаются от привычного для нас плоского пространства Минковского. Во-первых, это пространство имеет границу. Во-вторых, любой предмет, брошенный наблюдателем в пространстве анти-де Ситтера, возвращается к нему, словно бумеранг. При этом время возвращения не зависит от траектории объекта и всегда конечно. В третьих, это правило распространяется даже на лучи света, которые в ходе своего путешествия достигают границы пространства, хотя эта граница бесконечно удалена от наблюдателя. Это связано с тем, что по мере удаления объекта их собственное время все больше и больше сокращается. В частности, при приближении к границе время объекта практически останавливается.

Вообще говоря, что такое квантовая теория гравитации в AdS_D+1, до сих понятно не очень хорошо. Как правило, под такой теорией понимается теория струн. Впрочем, в реальных расчетах обычно идет речь о классическом пределе этой теории, который хорошо описывается Общей теорией относительности, то есть действием Эйнштейна—Гильберта.

Вторая часть аббревиатуры «AdS/CFT» скрывает в себе конформную теорию поля в D-мерном плоском пространстве-времени. Конформная теория поля — это частный случай квантовой теории поля, в которой корреляционные функции (корреляторы) не меняются при конформных преобразованиях. Грубо говоря, корреляторы описывают вероятность перехода между различными конфигурациями полей. Как только мы нашли все корреляторы теории и научились считать квантовые поправки к их классическим значениям, мы можем достать из теории все наблюдаемые величины, которые в ней содержатся, — например, сечения рассеяния частиц. Поэтому корреляционные функции являются центральным объектом квантовой теории поля. Подробнее про корреляционные функции можно послушать в рассказах физиков-теоретиков Эмиля Ахмедова и Анатолия Дымарского.

Для вычисления корреляционных функций удобно использовать производящий функционал Z[J], который иногда называют статсуммой (partition function) по аналогии со статистической физикой. В каком-то смысле производящий функционал — это обобщение понятия действия на квантовый случай: так же, как действие содержит всю информацию о классической теории, производящий функционал исчерпывающе описывает соответствующую квантовую теорию. Более того, основной вклад в производящий функционал дают именно классические траектории, около которых флуктуируют квантовые поля.

К сожалению, на практике посчитать квантовые поправки к производящему функционалу и корреляционным функциям удается далеко не всегда. Например, в квантовой хромодинамике (КХД), которая описывает сильные взаимодействия, вывести аналитические выражения удается только в пределе больших энергий (то есть малого расстояния между кварками), когда эффективная константа связи становится маленькой. Более того, некоторые эффекты в этих теориях в принципе нельзя описать в рамках теории возмущений. Поэтому в КХД и ряде других квантовых теорий получить осмысленный ответ удается только с помощью численных расчетов на суперкомпьютере.

Голографическая дуальность

Однако AdS/CFT-соответствие позволяет получить те же самые ответы гораздо проще, используя дуальность между конформной теорией поля в D-мерном плоском пространстве и квантовой теорией гравитации в (D+1)-мерном пространстве анти-де Ситтера. Математически эта дуальность выражается в равенстве производящих функций теорий:

Понимать это равенство нужно следующим образом. Представим, что на границе AdS_D+1 живут некоторые операторы, которые описывают квантовые поля конформной теории. Эти операторы задают граничные условия для полей квантовой гравитации, которые действуют в объеме пространства. Зная эти условия, можно найти допустимые конфигурации полей в AdS_D+1 и оценить производящий функционал теории квантовой гравитации, который неявно зависит от операторов на границе. Наконец, принцип голографической дуальности утверждает, что этот функционал в точности равен производящему функционалу граничной конформной теории поля. Следовательно, с помощью производящего функционала квантовой гравитации можно рассчитать корреляционные функции конформной теории.

Более детально разобраться в том, как работает голографическая дуальность, можно с помощью статей «AdS/CFT-соответствие», «AdS/CFT соответствие. Некоторые примеры вычисления корреляционных функций» и «AdS/CFT соответствие и теория струн». В основном эти статьи основаны на знаменитом обзоре Хуана Малдасены. К сожалению, из-за большого количества деталей читать эти статьи без предварительной подготовки практически бесполезно.

На практике AdS/CFT-соответствие обычно используют в упрощенном виде, рассматривая конформные теории поля с большим числом степеней свободы. Такие теории отдаленно напоминают квантовую хромодинамику с бесконечно большим числом цветов. Конечно, теория с бесконечно большим числом цветов в реальности не реализуется, однако она дуальна классической теории гравитации, поэтому найти ее производящий функционал гораздо проще. В этом случае считать функциональный интеграл в теории квантовой гравитации не нужно — достаточно найти классическое решение с заданными граничными условиями и подставить его в действие Эйнштейна—Гильберта.

Это позволяет хотя бы качественно объяснить поведение граничных квантовых систем. Как и в других областях физики, здесь теоретики придерживаются английской поговорки «keep task small». Другими словами, сначала ученые считают то, что считается, пытаются увидеть общие закономерности в модельных примерах, а потом распространяют их на реальные задачи.

Любимая голограмма теоретиков

А для модельных примеров принцип AdS/CFT-соответствия предсказывает много красивых, многообещающих результатов. Именно этим и объясняется его популярность.

Во-первых, этот принцип объясняет, почему энтропия черной дыры пропорциональна площади ее горизонта событий, и даже намекает на какое-то описание ее внутренних квантовых состояний. Для этого он полагается на тот факт, что черная дыра в AdS дуальна конформной теории поля на границе при конечной температуре, равной температуре Хокинга. В самом деле, излучение Хокинга от черной дыры достигает границы пространства и возвращается обратно за конечное время, следовательно, дыра довольно быстро приходит в термодинамическое равновесие с окружающим ее пространством. При этом очевидно, что температура получившейся системы совпадает с температурой Хокинга.

Важно, что черная дыра разбивает пространство анти-де Ситтера на два причинно-несвязанных региона, которые не могут обмениваться друг с другом информацией. Разумеется, границы этих регионов, лежащие на краю пространства анти-де Ситера, информацией обмениваться тоже не могут. В квантовой теории поля энтропия каждого из этих регионов называется энтропией запутывания (entanglement entropy) и вычисляется по вполне определенным правилам.

Так вот, с помощью AdS/CFT-соответствия можно показать, что энтропия запутывания региона квантовой системы пропорциональна площади поверхности в пространстве анти-де Ситтера, которая натянута на границе региона и занимает в пространстве наименьшую площадь. Чем больше регион, тем выгоднее поверхности «наматываться» на черную дыру, рядом с которой пространство искривлено слабее, чем около границы. В итоге при некотором критическом размере поверхность рвется на две части, одна из которых проходит около горизонта событий черной дыры. Поэтому в предельном случае, когда размер региона совпадает со всей границей пространства, энтропия его запутывания совпадает с энтропией черной дыры. При этом можно предположить, что поведение полей на границе описывает квантовые состояния черной дыры. Впрочем, последнее утверждение до сих пор строго сформулировать не удалось.

Во-вторых, голографическая дуальность объясняет переход конфайнмент-деконфайнмент в квантовой хромодинамике. Напомним, что конфайнмент запрещает кваркам вылетать за пределы частиц. Чем дальше кварки удаляются друг от друга, тем сильнее между ними натягивается глюонная струна; рано или поздно струна рвется и рождает пару кварк-антикварк, которая моментально объединяется с беглецами и образует новые составные частицы.

AdS/CFT-соответствие наглядным образом показывает, при каких условиях в теории возникает конфайнмент. Рассмотрим квантовую хромодинамику при конечной температуре и посчитаем энтропию запутывания между двумя кварками. Как и в примере с черной дырой, для этого нужно найти площадь минимальной поверхности, натянутой на мировых линиях кварков. Можно придумать два принципиально разных варианта такой поверхности. Первый вариант — соединить мировые линии дугообразным «куполом». Второй вариант — спуститься от каждой линии по кратчайшему пути к черной дыре и соединить их на ее горизонте событий, где затраты площади на прирост поверхности почти нулевые.

Если расстояние между кварками невелико, выгоднее оказывается первый вариант, энтропия запутывания и число степеней свободы растет при удалении кварков, и теория находится в фазе деконфайнмента. Если же кварки отойдут друг от друга достаточно далеко, меньшую площадь будет охватывать вторая поверхность, энтропия запутывания расти перестанет и теория перейдет в фазу конфайнмента.

Наконец, голографическая дуальность позволяет легко провести вычисления, которые практически невозможны в квантовой теории поля — например, найти квантовые поправки к эффекту Швингера. Эффект Швингера предсказывает, что сильное электрическое поле должно рождать заряженные частицы (например, электроны). Как правило, при рассмотрении этого эффекта ограничиваются квазиклассическим приближением, потому что рассчитать квантовые поправки к эффекту очень сложно — до сих пор физики продвинулись не дальше первого порядка теории возмущений. В то же время, голография легко получает «точный» результат, который совпадает с громоздкими однопетлевыми расчетами.

Напоследок заметим, что у AdS/CFT-соответствия есть один недостаток, на который принято закрывать глаза: это соответствие строго не доказано. Вообще говоря, ученые не понимают, почему оно работает, хотя десятки частных примеров подтверждают, что догадка Хуана Малдасены была верной. Впрочем, физиков отсутствие математической строгости никогда не останавливало — в физике принято считать, что теория является верной, если она позволяет получить правдоподобный результат. У AdS/CFT-соответствия таких результатов хватает с запасом.

Дмитрий Трунин