Cимметронная гравитация оказалась похожа на электростатику

Американские физики-теоретики рассмотрели симметронную теорию гравитации и показали, что в некоторых случаях в ней работают простые электростатические аналогии, например, метод изображений. Иногда это позволяет значительно упростить расчеты. С помощью нового метода ученые вычислили силу взаимодействия между точечной массой и сферой, а также показали, что эллипсоид, помещенный в однородное симметронное поле, будет поворачиваться и выстраиваться вдоль поля. Статья опубликована в Physical Review D.

В 1961 году физики-теоретики Карл Бранс (Carl Brans) и Роберт Дикке (Robert Dicke) разработали теорию скалярно-тензорной гравитации, совместимую с принципом Маха. Другими словами, они предполагали, что помимо материи и гравитации существует еще какая-то сущность, которая определяет пространство-время. В теории Бранса-Дикке в качестве этой сущности выступает новое скалярное поле. Почему принцип Маха оказался так важен для физиков при построении теории, можно подробнее прочитать в этой статье.

При этом все альтернативные теории гравитации в том или ином пределе должны переходить в Общую теорию относительности. Например, отличия модифицированной теории могут играть роль на космологических масштабах, но оставаться незаметными в рамках Солнечной системы. В 2004 году Джастин Хури (Justin Khoury) и Аманда Вельтман (Amanda Weltman) впервые предложили такую теорию, рассмотрев гипотетические поля — «хамелеоны», которые подавляются вблизи массивных объектов вроде Земли или Солнца, но усиливаются при отдалении от них. Поэтому на космологических масштабах, на которых средняя плотность материи не очень высока, такие поля могут играть роль темной энергии, ускоряющей расширение Вселенной. Впрочем, тогда теоретики всего лишь рассмотрели возможность построения такой теории и не предложили механизм, который будет вызывать подобное поведение полей-хамелеонов.

В 2006 году Курт Хинтербихлер (Kurt Hinterbichler) и Джастин Хури развили идею хамелеонной гравитации и предложили симметронную модель (symmetron model), основанную на теории Бранса-Дикке. В этой модели масса скалярного поля возникает из-за спонтанного нарушения симметрии. Этот же механизм работает для обычных частиц (механизм Хиггса) и существенным образом связан с видом потенциала, который определяет взаимодействие поля с самим собой. Самый простой пример такого потенциала — «мексиканская шляпа». Подробнее про спонтанное нарушение симметрии можно прочитать в нашей новости о типах колебаний в бозе-конденсате, также можно послушать объяснение физика-теоретика Дмитрий Казакова.

В симметронной модели потенциал зависит не только от величины симметронного поля, но и от плотности материи. Из-за этого динамика поля будет меняться в зависимости от того, как сильно мы удалены от массивных тел. В вакууме масса бозонов симметронного поля определяется только параметрами эффективного потенциала, и в пределе низких энергий теория воспроизводит электростатику с массивными фотонами, то есть напоминает теорию Юкавы. При высокой плотности материи «мексиканская шляпа» превращается в «ямку», и спонтанного нарушения симметрии не происходит — масса бозонов равна нулю. Тем не менее, на этот раз теория снова воспроизводит массивную электростатику, только масштаб масс определяется плотностью материи, а не параметрами исходного потенциала.

Группа физиков-теоретиков под руководством Лили Огден (Lillie Ogden) решает в нескольких частных случаях уравнения, описывающие динамику материи, гравитации и симметронного поля. Вообще говоря, эти уравнения являются нелинейными, то есть решать их сложно. Обычно это делают численно, привлекая мощные компьютеры и сложные алгоритмы. Однако оказывается, что в симметронной модели можно использовать электростатические аналогии — например, в ней работает метод изображений, который позволяет проще вычислять силу, действующую на маленькое тело, находящееся неподалеку от большого. Во многих случаях это позволяет упростить вычисления.

Для начала физики провели «честные» вычисления для тонкостенной и толстостенной сферы. В первом случае симметронное поле внутри сферы полагалось постоянным и равным нулю, во втором случае — равным своему значению на поверхности. Кроме того, теоретики считали, что на бесконечности (там, где материи нет) поле равно своему вакуумному значению. В обоих этих случаях физики искали, как поле на поверхности сферы отличается от вакуумного значения. Оказалось, что в случае «толстой» сферы отличие уменьшалось быстрее. Кроме того, около поверхности толстостенной сферы градиенты гравитационного и симметронного поля оказались сравнимы.

Затем ученые рассмотрели случай, в котором половина пространства была однородно заполнена массивной материей, а другая половина оставалась пустой. В этом случае пробное тело, помещенное около разделяющей полупространства плоскости, притягивалось к ней с постоянной силой.

Все это очень напоминало случай электростатики, в которой наблюдаются похожие эффекты. В общем-то, это не удивительно. В самом деле, прикинем, на что похоже уравнение симметронного поля в пределе маленьких масс поля и больших плотностей материи. В пустом пространстве оно переходит в привычное для нас уравнение Лапласа, в областях с высокой плотностью материи — в уравнение Пуассона (в ведущем порядке). Эти же уравнения описывают обычный электростатический потенциал. Получается, что можно сказать, будто толстостенная сфера аналогична заряженному изолятору, а тонкостенная сфера — идеальному проводнику.

Поэтому для приближенных расчетов сил, действующих на массивные тела в симметронной модели, можно применить метод изображений. Заключается этот метод в том, что вместо прямого расчета силы, возникающей между пробным зарядом и замкнутой заряженной поверхностью, мы подбираем «фиктивные» точечные заряды таким образом, чтобы выполнялись граничные условия на поверхности. Тогда сила взаимодействия между пробным зарядом и поверхностью будет равна силе взаимодействия с фиктивными зарядами. Примеры задачек на метод изображений в электростатике можно посмотреть, например, здесь и здесь.

Подобным же образом теоретики вычислили силу взаимодействия между точечной массой и сферой с тонкими стенками. Для этого они заменили сферу на две точечных массы-изображения, сдвинутых друг относительно друга на расстояние, равное толщине оболочки. Оказалось, что помимо притяжения масса будет испытывать отталкивание, величина которого растет с приближением к поверхности — при этом выражение для силы совпадает с результатом, полученным Хинтербихлером и Хури в оригинальной работе 2006 года. Интересно, что при правильно подобранных значениях теории, плотности и радиуса сферы отталкивание может пересилить притягивание — возникает эффект, невозможный в классической теории гравитации.

Кроме того, ученые выяснили, что вытянутое тонкостенное тело (например, эллипсоид), разворачивается по полю, даже если поле однородно. В классической гравитации этот эффект также невозможен из-за симметрии задачи, а потому ученые предлагают использовать его для проверки справедливости теории.

Вообще говоря, в науке часто бывает так, что теории, придуманные для описания одних эффектов, находят применение в совершенно других областях. Например, одномерную электронную жидкость можно смоделировать с помощью ультрахолодного бозе-газа. А совсем недавно ученые из МФТИ показали, что электрические свойства бактерии Shewanella oneidensis можно объяснить с помощью теории, разработанной для описания аморфных тел.

Дмитрий Трунин