Математики закутали гиперсферу в ленточки

Суммарная ширина «ленточек», которые полностью покрывают d-мерную единичную сферу, не может быть меньше, чем число π. Этот факт доказали математики из МФТИ (Россия) и Техниона (Израиль), статья ученых опубликована в Geometric and Functional Analysis.

Прежде чем перейти к задаче, которую изучали ученые, расскажем немного про ее историю. В 1932 году польско-американский математик Альфред Тарский предположил, что любое выпуклое тело ширины W, вложенное в d-мерное Евклидово пространство ℝ^d, можно покрыть только таким набором «дощечек», суммарная ширина которых превышает (или равна) W. Поясним это предложение. Грубо говоря, евклидовость пространства означает, что в нем квадрат расстояния между двумя точками равен сумме квадратов их координат, записанных в прямоугольной системе (в действительности все сложнее, но здесь ограничимся расстоянием). Дощечка ширины w — это область пространства, заключенная между двумя параллельными плоскостями, которые отстоят друг от друга на расстояние w. В двумерном случае это будут такие бесконечно длинные полоски (смотри приложенный рисунок). Соответственно, ширина выпуклого тела — это минимальное расстояние между двумя параллельными плоскостями, между которыми его можно зажать. Тарский показал, что его предположение выполняется для плоского (двумерного) диска, однако многомерное обобщение оставалось недоказанным почти двадцать лет. Только в 1951 году Банг (Thøger Bang) окончательно разрешил эту задачу.

Однако в данной статье математики Александр Полянский и Цзылин Цзян рассматривали несколько видоизмененную задачу, сформулированную венгерским математиком Ласло Фейеш Тотом в 1973 году. Они пытались покрыть единичную d-мерную сферу не «дощечками», как в задаче Тарского и Банга, а «полосками» (или «ленточками», если говорить более образно) — зонами, принадлежащими поверхности сферы, а не d+1-мерному пространству, в которое сфера вложена.

Чтобы построить такую зону, проведем через центр сферы плоскость — она вырежет на ее поверхности окружность. Затем отступим от этой окружности в обе стороны на расстояние ω/2, которое мы будем мерить вдоль искривленной поверхности сферы (так называемое сферическое расстояние, spherical distance). Получится, будто мы обернули сферу ленточкой постоянной ширины. В результате гипотеза Тота звучит очень похоже на предположение Тарского, только в ней ширину в смысле расстояния в Евклидовом пространстве нужно поменять на ширину в смысле сферического расстояния: «... единичную сферу можно покрыть полосками, суммарная ширина которых не превышает ширины сферы, то есть π». Вообще говоря, Тот формулировал гипотезу для двумерной сферы и одинаковых зон, однако математики обобщили ее на случай произвольной размерности.

Хотя предположение Тота кажется интуитивно понятным, не стоит забывать, что в математике интуиция иногда подводит (например, как в случае парадокса Банаха-Тарского). Поэтому математическое доказательство должно быть строгим. Такое доказательство как раз было найдено и опубликовано Полянским и Цзяном.

Теорему математики доказывали от противного. Другими словами, они предположили, что суммарная ширина полосок меньше π, и показали, что в этом случае существует точка, которая лежит на сфере, но не покрывается полосками. Для этого взяли за основу координаты, описывающие полоски, и собрали из них множество точек в d+1-мерном пространстве, в которое вложена сфера. Если все это множество целиком лежало внутри сферы, построить искомую точку на ее поверхности было несложно. Если же какие-то из этих точек выбивалась за пределы сферы, математики уменьшали число зон, сохраняя при этом их суммарную ширину, и повторяли рассуждения. В конечном счете либо все точки оказывались внутри сферы (и тогда срабатывала первая часть доказательства), либо часть из них попадала на ее поверхность. Однако в последнем случае d-мерную задачу можно свести к одномерной (то есть окружности), на которой предположение Тота проверить очень просто. Таким образом, всегда можно построить точку, которая лежит на поверхности сферы и не покрывается полосками, если их суммарная ширина меньше π.

Кроме того, математики предложили более «жесткую» версию гипотезы Тота. В ней полоски заменяются на сферические сегменты, которые вырезают из поверхности две параллельные плоскости, причем они не обязательно должны быть симметричны относительно центра сферы. В этом случае ширина сегмента определяется как минимальная длина дуги, соединяющей плоскости (вообще говоря, эта длина вдоль сегмента меняется).

Ранее мы писали о том, как российский школьник улучшил оценку Эрдёша в задаче Данцера-Грюнбаума об острых множествах. Интересно, что в дальнейшем благодаря обсуждению на математическом форуме dxdy.ru оценка была улучшена еще сильнее.

Дмитрий Трунин