Бездна в яблоке

Принято считать, что в центре черной дыры находится сингулярность. За доказательство этого факта в прошлом году дали Нобелевскую премию по физике — что удивило некоторых ученых, потому что эмпирически его не проверить. Из-за этой принципиальной невозможности заглянуть за пределы горизонта событий вокруг сингулярности высвечивается ореол трансцендентного. Но понять, как устроены сингулярности, можно и не выходя из дома — достаточно взять в руки яблоко или открыть водопроводный кран.

Слово «сингулярность» в зависимости от того, кто его говорит, может обозначать довольно разные явления. Для футуролога сингулярность — момент, когда человек теряет контроль над технологическим прогрессом, а для климатолога — вообще локальное изменение погоды в определенные дни, не продиктованное сезонными изменениями (например, оттепель). В зависимости от контекста этот термин может означать любые резкие и исключительные переходы, развороты или зарождения новых явлений.

Так или иначе, все эти «сингулярности» порождены математикой, но чем дальше и дольше путешествовал термин, тем больше размывалась строгость его определения. У физиков и математиков «сингулярности», впрочем, своего значения не потеряли, хотя смысл у них может очень разным.

В русском математическом языке вместо термина «сингулярность» используют другое слово — «особенность». Это точка, в которой функция имеет разрыв или у нее нет однозначно определенной производной. Если эта функция описывает какую-то физическую величину, то в особой точке ее значение будет, например, бесконечным.

Пожалуй, самый известный пример физической сингулярности — черная дыра. В ней в бесконечность обращаются кривизна и плотность пространства-времени. Сложность с черной дырой в том, что находится она за пределами видимости, даже теоретическими. Если какая-то информация попала в черную дыру, то вернуться обратно из-за горизонта событий она уже не сможет. А тепловое излучение Хокинга, которое черная дыра испускает из-за квантовых эффектов, информации не несет. Поэтому взглянуть на сингулярность, удостовериться, что она действительно там есть, и увидеть, что она из себя представляет, невозможно.

Именно из-за невозможности наблюдения черных дыр многие ученые скептически восприняли присуждение Нобелевской премии по физике 2020 года Роджеру Пенроузу. Он доказал, что в черной дыре обязательно должна быть сингулярность, но проверить этот факт невозможно. Увидеть, что происходит с фотонами около черной дыры, — можно: фотография тени черной дыры стала одним из научных прорывов 2019 года. Но изображение этой области вокруг черной дыры, в которой из-за искривления траекторий фотонов и отсутствия стабильных орбит сильно снижается яркость свечения, ничего не говорит о том, как фотоны ведут себя за горизонтом событий.

Впрочем, столкнуться с сингулярностями можно и на Земле. А некоторые — даже подержать в руках. С точки зрения избыточной потенциальной энергии и механической устойчивости быть круглым (или хотя бы гладким) лучше, чем угловатым: на изломах концентрируется напряжение, поэтому там проще ломаться. Но в материальном мире сингулярности повсюду — в воде, траве, животных.

Сингулярная вода

Почему так — не очень понятно. Одна из семи Задач тысячелетия — не просто поиск общего решения уравнений Навье–Стокса, описывающих механику вязких жидкостей, но и доказательство или опровержение гладкости их возможных частных решений. Математики ищут ответ на вопрос, может ли в гидродинамике естественным образом рождаться сингулярность или нет.

При этом самые наглядные примеры естественных сингулярностей связаны как раз с течением воды. Например, сингулярность возникает в тот момент, когда от поверхности воды отделяется капля или из трубки на дне заполненного сосуда вылетает пузырек газа. Если на этот процесс смотреть в замедленной съемке, то можно увидеть, как сначала между поверхностью и каплей образуется шейка, которая истончается и затем рвется. В момент разрыва на обеих его сторонах неизбежно возникают особенности.

Тогда же уравнение, которое описывало весь объем воды, должно расщепиться на два: для капли и для родившей его поверхности. При этом «новорожденные» уравнения в первое мгновение своего существования должны в тех же условиях давать то же решение, что и «материнское». Но при этом они содержат еще и сингулярности.

Еще один наглядный пример сингулярности в гидродинамике — сток воды. В зависимости от объема и вязкости жидкости и размера сливного отверстия, в такой системе можно увидеть два вида сингулярностей, одна из которых перетекает в другую. Первая возникает на верхней поверхности жидкости. Если жидкость достаточно вязкая, а отверстие — достаточно маленькое по сравнению с толщиной слоя, то в какой-то момент поверхность теряет свою гладкость. Вторая сингулярность появляется в центре сливного отверстия. Если жидкость не очень вязкая, а сток достаточно широкий, то в его центре скорость жидкости формально становится бесконечной. Похожая сингулярность возникает в центре вихревых потоков, например в торнадо или в кружке с чаем, в которой ложечкой размешивают сахар.

Переход от ламинарного течения к турбулентному — тоже, возможно, следствие сингулярности (это не точно, потому что хорошей теории для описания турбулентного течения до сих пор нет). В любом случае, если сингулярность там есть, то ее, как и той, что находится в центре черной дыры, не видно — она возникает на уровне решений уравнений. При устремлении числа Рейнольдса к бесконечности решения для ламинарных потоков должны смениться на решения совсем другого вида. И эта смена режима должна проходить через особенность.

Математика с особенностями

Сингулярности в непрерывных средах — воплощенные решения дифференциальных уравнений в частных производных. Для воды это уравнения Навье–Стокса. Решая их, можно получить функции, в которых и на уровне математики возникают особенности.

У математиков для описания и исследования этих решений есть отдельная дисциплина — теория особенностей (или теория сингулярностей). В изначальном варианте, который предложил американский математик Хасслер Уитни, теория изучает гладкие отображения — например, проекции гладких поверхностей на плоскость. Уитни обнаружил, что на таких проекциях может быть два вида устойчивых особенностей: складки и сборки. Складка образуется при проекции замкнутого тела (например сферы) на плоскость, сборка — при проекции на плоскость «волнистой» поверхности.

Складка делит плоскость на две области: внутри у каждой точки на плоскости два прообраза на поверхности, снаружи — ни одного, на границе — один. В случае сборки проекция тоже делит плоскость на две области. На большей части каждая точка проекции соответствует одной точки поверхности, а на меньшей — трем. Две эти области разделяет полукубическая парабола, состоящей из двух симметричных ветвей, которые сходятся в точке возврата (она же острие, она же касп).

Все другие особенности (сингулярности) гладких отображений — сводятся малыми шевелениями поверхности к складкам и сборкам. Взаимной однозначности у этих отображений нет (то есть одной точке проекции может соответствовать несколько точек поверхности), но именно эти особенности — устойчивые и не разваливаются при небольших движениях поверхности. Все остальные особенности гладких отображений можно свести к этим двум. В итоге двумя гладкими — без особенностей — поверхностями порождаются кривые с особыми точками. Единственная точка, в которой эти кривые не гладкие, — это точка сингулярности. Движение по гладкой кривой не предвещает никаких сложностей. Сингулярность наступает внезапно — а вместе с ней появляются сложности.

Здесь сходятся два решения с разными производными и функция становится нйеодмиефуфреирценнецриерфуфеимдоейн

нйеодмиефуфреирценнецриерфуфеимдоейн ястивонатс яицкнуф и имындовзиорп имынзар с яинешер авд ястядохс ьседЗ

На другой стороне сингулярности — снова гладкая функция. Но уже не совсем такая, как была.

Как эта сингулярная математика просачивается в реальный мир, легче всего увидеть даже не в гидродинамических явлениях, а в оптических. Например, при распространении волнового фронта после рассеяния света на стакане с водой. Для описания точек, где интенсивность света максимальна, используют каустики — особые линии, огибающие для всех лучей, которые расходятся от стакана.

Каустики могут быть разной формы, но практически все содержат сингулярности. Нефроида, кардиоида, циклоида — на всех этих кривых есть особые точки. Уравнения для каждой из них свои, но у сингулярностей они очень близки к полукубической параболе. При этом те же уравнения подходят не только для оптических, но и других естественных сингулярностей, поэтому большинство статических особых точек в естественной среде можно точно описать с помощью теории особенностей (или теории сингулярностей).

Сингулярный мозг

Рассматривая, как вода утекает в сливное отверстие или как стакан с водой рассеивает свет, можно лучше понять, как устроена черная дыра, чем просто смотря на графики функций. Но помимо них, в природе есть множество тел с устойчивыми особыми точками — их можно не только рассмотреть, но и пощупать. И описать с помощью теории особенностей, решив соответствующие дифференциальные уравнения.

Например, складки или морщины на теле — результат того, что разные ткани растут (или наоборот — уменьшаются в объеме) с разной скоростью. Когда механическое внутреннее напряжение в ткани становится слишком большим, то поверхность складывается — так образуется морщина. Иногда с ними оказывается даже удобнее, и такие нарушения устойчивости при развитии закрепляются в ходе эволюции — так организмы начали выращивать на себе сингулярности. Извилины на головном мозге — пример таких преднамеренных сингулярностей. У всех людей главные извилины расположены одинаково, и процесс их образования управляется физическими механизмами, хотя и кажется, что нарушение устойчивости должно быть случайным процессом.

Чтобы разобраться, почему живым организмам удается управлять этим сложным и сильно нелинейным процессом, у математиков есть еще одна теория, тоже построенная вокруг сингулярностей. Для описания динамических процессов ученые используют теорию бифуркаций. Те же самые складки и сборки в этой теории описывают особые точки, линии или поверхности, на которых система из-за плавного изменения одной из характеристик системы резко меняет свое состояние. В случае с извилинами — из-за плавного увеличения внутреннего механического напряжения растущая кора из гладкого состояния резко переходит к морщинистому. В точке бифуркации (это сингулярность) оба состояния равновероятны, но после ее прохождении выбор в пользу складок уже сделан.

В таких системах сингулярность — результат роста в ограниченном пространстве гиперупругого неогуковского тела, у которых напряжение и деформация связаны нелинейно. Морщина появляется вынужденно из-за избыточной деформации (это происходит примерно при 45-процентной деформации), но после прохождения точки бифуркации она становится устойчивой. Например, если вынуть мозг из черепа, извилины не распрямятся.

То, что такая конфигурация двумерных сингулярностей действительно устойчива, воспроизводима и определяется геометрическими ограничениями, ученые проверяют не только общими математическими уравнениями, но и в реальных физических экспериментах, на реальных моделях из полидиметилсилоксана — эластомера с нелинейными механическими свойствами.

При этом из-за физических эффектов воспроизводимость системы сингулярных складок выполняется не только для больших деформаций, когда точка бифуркации уже пройдена, но и для маленьких. Например, недавно физики установили, что из-за адгезии и пининга краевой линии после распрямления поверхности на ней остаются «шрамы». Из-за чего процесс сгибания–разгибания материала становится асимметричным, а место складки — буквально впечатывается в его память.

Сингулярные яблоки

Сингулярности в извилинах и морщинах двумерны. В особой точке в одном измерении кривизна действительно бесконечная, но в другом — наоборот, нулевая. Значит ли это, что в трехмерном мире эти сингулярности будто бы не совсем полноценны? Нарисованные на бумаге графики парабол с особенностями и каустики, которые видны на плоских проекциях, — примеры сингулярностей на одномерных линиях. Извилины головного мозга, морщины или водопад на широкой реке — сингулярности в двумерных системах. И те, и другие примеры точно помогают чуть лучше представить, что происходит в черной дыре — сингулярности в четырехмерном пространстве-времени. Но любая трехмерная особенность, особенно если ее можно подержать в руках, должна помочь лучше.

Трехмерные сингулярности растут практически на каждом дереве. Например в той точке, за которую яблоко подвешено к ветке, возникают осесимметричные особенности, очень похожие на полукубические параболы. С точки зрения геометрии это почти полные аналоги гидродинамических сингулярностей — с отрывом капли или стеканием жидкости в круглое отверстие. Выдавливая из себя яблоко через трубку плодоножки, ветка яблони превращает точку, на которой висит плод, в своеобразный сингулярный слив.

Физики из Гарвардского университета внимательно изучили, как эта сингулярность меняется во время роста яблока и почему она получается именно такой формы. Оказалось, что поверхность яблока, вздувшаяся вблизи плодоножки, действительно хорошо описывается теорией сингулярности, а дуги его поверхности вблизи особой точки описываются параболой.

Ученые выяснили, что если рассматривать рост яблока как равномерное движение его фронта во всех направлениях, то когда в одном конкретном направлении этому росту препятствует какой-то ингибитор, в этой точке возникает сингулярность. И форма яблока на каждой стадии его развития оказывается не сферой, а задается уравнением эйконала. Это уравнение из оптики, которое описывает распространение световых лучей при заданных граничных условиях, связывая фазу светового поля с оптической длиной пути. Для яблока в первые моменты после начала роста решение этого уравнения будет гладким даже при наличии точки ингибирования, но в определенный момент в нем действительно появляется касп (он же острие, он же точка возврата).

И это решение универсально — оно чисто геометрическое и не зависит от химического состава, типа клеток или физической природы явления. Согласно ему будет меняться форма и яблока, и чего угодно, что растет как яблоко.

Так же, как и извилины головного мозга, касп в яблоке образуется по законам механики. Поэтому его можно точно так же проверить с помощью моделирования и на реальной модели.

Эти эксперименты уже провели: и они не только подтверждают механизм возникновения сингулярности на яблоке, но и позволяют изучить более тонкие эффекты. Так, если яблоко висит на слишком толстой плодоножке, то сингулярность перестает быть осесимметричной, и на ее берегах возникают сингулярности второго порядка — дополнительные складки, которые делят плод на хорошо заметные доли. Чем толще плодоножка, тем больше долей будет у сингулярности. Такой же эффект можно увидеть и, например, на помидорах.

Физика с особенностями

Здесь математика сталкивается с чувственным опытом. Рассматривая яблоко, мы не видим бесконечности. Математические бездны не умещаются в наблюдаемый мир.

Но математика абстрактна. Сама по себе она не отвечает, почему при решении уравнений, в которых физики не сомневаются, возникает бесконечность, а максимальная кривизна оказывается выгоднее гладкости. В дифференциальных уравнениях, которые описывают физический мир, решения с особыми точками возникают сами собой. Это происходит, если процесс, который эти уравнения пытаются описать, оказывается для них слишком тонким. Тогда задача становится мультимасштабной и сильно нелинейной, и модель перестает справляться с ней до конца. Извне решение выглядит правильным, но как только мы попадаем в особую точку, выясняется, что никакой физической сингулярности здесь нет, это просто уравнения дают сбой. Бесконечность — артефакт модели, она означает переход на новый уровень, где работают другие формальные законы.

Если мы посмотрим на эту же точку иначе — например, возьмем квантовую физику вместо классической или дискретную модель вместо континуальной, — то сингулярность перестанет быть бесконечным падением и станет чем-то конечным и доступным для понимания.

Поэтому в каждом отдельном случае: с текущей водой, растущим яблоком или бесконечным сжатием материи в черной дыре — надо разобраться, какое именно допущение перестало соблюдаться в особой точке. И как надо поменять свой взгляд на проблему, чтобы избавиться от сингулярности.

Взгляд в черную дыру для нас чем-то похож на попытку увидеть с поверхности яблока, куда упирается плодоножка. Подойдешь слишком близко — и бездна исчезнет. А найти подходящую точку зрения, не поломав при этом привычную картину мира, — (пока) невозможно.

Александр Дубов