Дмитрий Трунин

Редактор

Сложности на плоскости

На прошлой неделе мы выпустили тест, посвященный физике плоской дискообразной Земли. В одном из вопросов требовалось найти, в какой точке земного диска ускорение свободного падения достигает своего минимального значения. К сожалению, тест неправильно отвечал на этот вопрос: он утверждал, что ускорение свободного падения меньше всего на ребре плоской Земли, тогда как в действительности на ребре его модуль максимален. Напротив, сила тяжести слабее всего действует на обитателей плоской Земли в ее центре. В этом блоге я объясню, почему ускорение свободного падения на плоской Земле ведет себя таким необычным образом. Чтобы лучше «прочувствовать» физику задачи, я буду выписывать несложные формулы, которые подкрепляют качественные соображения. Поэтому вы легко можете проверить рассуждения самостоятельно.

Для начала вспомним «интуитивно понятные», но неправильные рассуждения, которые доказывают, что ускорение свободного падения уменьшается при удалении от центра плоской Земли. Закон всемирного тяготения Ньютона утверждает, что сила гравитационного притяжения двух тел прямо пропорциональна массе каждого из них и обратно пропорциональна квадрату расстояния между телами: F = Gm1m2/|r1r2|2. Эта сила всегда направлена так, что тела притягиваются, поэтому правильнее записывать этот закон в векторной форме, чтобы не потерять информацию о направлении сил: F12 = −Gm1m2×(r1r2)/|r1r2|2. Здесь я обозначил вектора полужирным шрифтом.

Кроме того, удобно ввести величину, которая описывает гравитационное поле независимо от массы тел, которые в него помещены. Такую величину называют напряженностью гравитационного поля, или ускорением свободного падения g. Напряженность поля, которое создает точечное тело массой M, помещенное в начале координат, равна g(r) = −GM×r/|r|3. Чтобы найти напряженность, которое создает тело более сложной формы, нужно разбить его на маленькие кусочки, которые можно считать точечными, а потом векторно сложить напряженности каждого кусочка. С точки зрения математики это означает, что придется считать тройной интеграл, поскольку наше пространство трехмерно (мы пренебрежем эффектами общей теории относительности).

Так вот, наивно кажется, что эту процедуру можно упростить — достаточно заменить тело сложной формы на материальную точку, которая расположена в центре масс тела и имеет с ним одинаковую массу. Центр масс диска расположен в его геометрическом центре, поэтому ускорение свободного падения падает обратно пропорционально квадрату расстояния до него, а на ребре — самой удаленной области — достигает своего минимального значения. К сожалению, это упрощение неверно. Оно работает только для сферически симметричных тел, однако в общем случае приводит к неправильным ответам. Поэтому случай плоской Земли нужно рассматривать более аккуратно.

Тройные интегралы, возникающие в этой задаче, слишком сложны, чтобы их можно было «честно» и быстро оценить. Разумеется, эти интегралы можно взять точно в терминах специальных функций, и такие оценки давным-давно сделаны. Тем не менее, было бы странно требовать, чтобы кто-то проводил такие зубодробительные вычисления в рамках простого теста по физике. К счастью, до правильного ответа можно догадаться более простым путем, которым мы сейчас пойдем.

Для начала рассмотрим более простой случай одномерной симметричной Земли (то есть тонкого однородного стержня), который поможет нам ухватить общие закономерности задачи. Вычислим напряженность гравитационного поля вблизи поверхности стержня как функцию от расстояния до его центра. Для этого нам нужно вычислить следующий одномерный интеграл:

Поскольку задача одномерная, вектора можно заменить числами, которые могут принимать отрицательные и положительные значения. В этой формуле G — гравитационная постоянная, L — длина стержня, κ — его линейная плотность, а x — координата точки, в который мы хотим найти напряженность гравитационного поля, отсчитывая от края стержня. Будем считать, что x лежит в интервале от 0 до L/2, поскольку задача симметрична. Во втором интеграле мы сделали замену, переместив начало координат в точку, в которой мы ищем напряженность поля. Легко видеть, что после этого подынтегральное выражение стало нечетной функцией, а потому часть интеграла можно «выкинуть». В результате получается, что ускорение свободного падения на краю стержня будет стремиться к бесконечности, а в центре обратится в ноль.

С точки зрения физики этот результат очень легко объяснить: область, расположенная справа относительно точки x, тянет ее вправо, а левая область — влево. Когда точка расположена в центре стержня, обе области тянут с одинаковой силой, и их результирующая обращается в ноль. Чем ближе мы приближаемся к краю, тем меньше становится симметричный участок, и тем больше становится итоговая напряженность поля. На краю притяжение компенсировать нечем, и его сила обращается в бесконечность, потому что бесконечно близкие точки притягивают с бесконечно большой силой; грубо говоря, мы делим на ноль. Если немного отойти от края, сила снова станет уменьшаться, потому что на ноль делить больше не придется. В реальной жизни бесконечности, конечно, не возникают (иначе бы любая иголка притягивала с бесконечно большой силой), потому что стержень имеет ненулевую толщину. Впрочем, качественная зависимость должна сохраняться: напряженность на краю больше, чем в центре.

Кроме того, заметим, что напряженность гравитационного поля на краю стержня стремится к бесконечности как g ~ 1/x. Причины такого роста легко понять: масса бесконечно малого элемента около края равна dM = κdy, а напряженность создаваемого им поля ведет себя как g ~ 1/y2. Поэтому после интегрирования остается минус первая степень, и мы вынуждены делить на ноль.

Теперь вернемся к двумерной задаче — тонкому однородному симметричному диску. В этом случае интеграл, который нужно оценить, выглядит гораздо сложнее:

Здесь σ — это поверхностная плотность диска, R — его радиус, координаты точки, в которой вычисляется напряженность, обозначены как x0 и y0, а единичные вектора, направленные вдоль осей x и y — как i и j соответственно. Вычислить этот интеграл гораздо сложнее, чем в одномерном случае. Тем не менее, если мы хотим оценить поведение напряженности гравитационного поля на краю диска, мы можем воспользоваться качественными соображениями, аналогичными одномерному случаю. В самом деле, масса бесконечно малого элемента около интересующей нас точки примерно равна dM = σdxdy = σrdr, а напряженность его поля g ~ 1/r2 (здесь удобно перейти в полярную систему координат). Поэтому в малой окрестности точки мы будем интегрировать выражение типа dr/r и получим расходимость g(r) ~ ln(r/ε), где ε — радиус окружности, которая касается диска изнутри (темно-серая область на рисунке). Когда точка находится внутри диска, силы притяжения от окружающих ее масс компенсируют друг друга, параметр ε > 0, и нам нужно рассматривать притяжение только оставшейся части диска. На рисунке эта часть закрашена светло-серым. Когда же точка находится на краю, компенсировать притяжение бесконечно близких областей нечем, ε → 0, а g → ∞.

Как и в случае стержня, в жизни эта расходимость ограничивается конечной толщиной диска, однако качественный результат сохраняется, и модуль ускорения свободного падения растет при приближении к краю. Эта зависимость подтверждается, например, численными расчетами. Правда, направление ускорения тоже изменяется. В центре диска напряженность поля направлена строго вниз — как легко догадаться, поперечные компоненты полностью компенсируют друг друга из-за симметрии задачи. При отдалении от центра поперечная компонента растет, а нормальная компонента падает, поскольку площадь «области компенсации» (темно-серый круг) уменьшается. В результате вектор g поворачивается к оси и удлиняется. Пока до краев еще далеко, заметить эти изменения практически невозможно (а потому диск можно приближенно считать бесконечной плоскостью), однако при приближении к краю они проявляются все сильнее и сильнее. На ребре диска напряженность поля направлена строго к центру.

В то же время гравитационный потенциал — энергия тел, помещенных в гравитационное поле — все-таки уменьшается при удалении от центра Земли, как этого и следовало ожидать. Это утверждение не противоречит тому факту, что напряженность поля на краю диска больше, чем в центре: так или иначе, она заставляет тела двигаться к центру и наращивать свою энергию.

Также стоит заметить, что уже в трехмерном случае такие расходимости возникать не будут: масса бесконечно малых элементов около рассматриваемой точки будет равна dM = ρdxdydz ~ ρr2dr, напряженность их полей g ~ 1/r2. В результате расходимости будут сокращаться, и мы будем интегрировать выражение ~ dr, которое дает бесконечно малые вклады вблизи точки.

Наконец, интерес представляют случаи вращающейся плоской Земли и «плоской Земли — бублика», в центре которой пробито большое симметричное отверстие. Эти случаи подробно рассмотрены, например, Йенсом Клейманном (Jens Kleimann), который численно смоделировал эти задачи и выложил рисунки на своем сайте. Например, он показал, что скорость вращения диска можно подобрать таким образом, что потенциалы его краев и центра будут равны — в этом случае эффективная сила, которая действует на тела (сила тяжести плюс центробежная сила) будет выталкивать их из центра диска, но не даст им свалиться с Земли и улететь в космос.

Кроме того, нужно сказать, что плоская Земля, на поверхности которой ускорение свободного падения сравнимо с ускорением свободного падения, при котором живем мы, не может существовать в реальном мире. По крайней мере, если такой объект и образуется, гравитация довольно быстро свернет его в шар, поскольку его гравитационная энергия существенно меньше, чем у диска.

Ранее в этом блоге

Нашли опечатку? Выделите фрагмент и нажмите Ctrl+Enter.