Функционирует при финансовой поддержке Федерального агентства по печати и массовым коммуникациям (Роспечать)

Физики оценили энтропию запутывания рассеянных релятивистских частиц

Численно смоделированное столкновение двух протонов, которое привело бы к рождению микроскопической черной дыры на Большом адронном коллайдере

Visualization by Joao Pequenao, Atlas Experiment / CERN

Физики из Франции и Японии рассчитали энтропию запутывания релятивистских протонов, рассеявшихся друг на друге. Оказалось, что энтропия примерно равна одному. Чтобы получить этот результат, ученым пришлось рассмотреть три способа регуляризации энтропии запутывания и показать, что все они дают примерно одинаковый результат. Статья опубликована в Physical Review D и находится в открытом доступе.

Квантовая запутанность — это один из «самых квантовых» эффектов, какие только можно придумать. В общем случае, квантовая запутанность возникает, когда волновые функции двух квантовых систем нельзя «расцепить» на две независимые волновые функции. Поэтому коллапс волновой функции одной системы неизбежно приводит к коллапсу волновой функции составной системы. Чтобы понять основную идею запутанности, достаточно рассмотреть гипотетический распад частицы с нулевым спином на две частицы (меньшей массы) с полуцелым спином. Поскольку в ходе распада полный угловой момент сохраняется, спины частиц должны смотреть в противоположные стороны. Следовательно, если мы проводим измерение и видим, что спин первой частицы направлен вверх, то спин второй частицы обязательно будет направлен вниз. Если же волновые функции двух частиц друг с другом не связаны, мы такую корреляцию не обнаружим.

Для количественного измерения запутанности двух систем физики используют энтропию запутывания. Грубо говоря, чем сильнее запутаны между собой частицы, тем больше их энтропия запутывания; в частности, для двух независимых систем энтропия запутывания попросту равна нулю. Благодаря своей простоте и очевидному физическому смыслу энтропия запутывания используется не только в квантовой механике, но и для описания более сложных процессов. В частности, можно спросить: запутаются ли между собой две релятивистские частицы, которые рассеялись друг на друге и снова разлетелись на бесконечность? Вообще говоря, из-за сложности процессов, которые сопровождают такое рассеяние, ответ на этот вопрос может быть далеко не очевидным.

Чтобы найти энтропию запутывания, нужно посчитать энтропию Фон Неймана для приведенной матрицы плотности одной из подсистем. Давайте разберемся, что кроется за этими словами. Для этого снова рассмотрим пример с двумя спинами, каждый из которых находится в состоянии |↑⟩ или |↓⟩. Если спины запутаны, то квантовое состояние системы выглядит как сумма двух состояний (с точностью до фазы), в которых спины смотрят в противоположные стороны: |Ψ⟩=(|↑⟩A|↓⟩B±|↓⟩A|↑⟩B)/√2. Соответствующая матрица плотности равна ρ=|Ψ⟩⟨Ψ|. Чтобы найти приведенную матрицу плотности первой системы, нужно взять след по второй системе, то есть просуммировать по всем ее квантовым состояниям: ρA=trB|Ψ⟩⟨Ψ|=⟨↑|BΨ⟩⟨Ψ|↑⟩B+⟨↓|BΨ⟩⟨Ψ|↓⟩B = (|↑⟩A⟨↑|A+|↓⟩A⟨↓|A)/2. Наконец, энтропия Фон Неймана определяется как следующая сумма: S=−tr(ρ∙logρ)=−∂tr(ρn)/∂n при n=1. Используя эту формулу, легко получить, что энтропия двух запутанных спинов равна SE=log2. Если же спины независимы, то их волновая функция складывается из волновых функций чистых состояний (например, |Ψ⟩=|↑⟩A|↓⟩B), а энтропия запутывания, рассчитанная по тем же формулам, равна нулю.
Впрочем, долгое время столкновение частиц с этой точки зрения никто не рассматривал: судя по всему, впервые вопрос об их энтропии запутывания задала в 2014 году группа физиков под руководством Сигенори Секи (Shigenori Seki). Тогда ученые рассчитали энтропию запутывания двух упруго сталкивающихся частиц в пределе слабой связи и обнаружили, что она может быть отлична от нуля. Несколько лет спустя та же группа исследователей обобщила предложенный метод на непертурбативный случай с помощью S-матрицы.

К сожалению, оказалось, что энтропия запутывания страдает от тех же нефизических расходимостей, что и другие наблюдаемые величины в Квантовой теории поля (то есть явно зависит от ультрафиолетового обрезания). Грубо говоря, расходимости возникают из-за того, что пространство конечных состояний частиц параметризуется импульсами. Поскольку объем соответствующего гильбертова пространства бесконечен, на практике его приходится «урезать», то есть выкидывать состояния, импульс которых превышает некоторое пороговое значение. Физики называют такую процедуру регуляризацией. Очевидно, что применять полученные формулы к реальным экспериментам можно только в том случае, если они не зависят от способа регуляризации.

Сигенори Секи и Роби Пещанский (Robi Peschanski) смогли избавиться от нефизических расходимостей и рассчитали энтропию запутывания для столкновений протонов, наблюдавшихся на Тэватроне и Большом адронном коллайдере. Для этого ученые тремя различными способами регуляризовали формулу для энтропии запутывания, полученную в предыдущей работе, и сравнили полученные результаты. Все процессы физики рассматривали в системе центра инерции.

Первый способ, который исследователи называют «объемной регуляризацией», самый наивный, а потому самый простой. В этом способе ученые просто отбрасывают расходящиеся члены, заменяя полный объем гильбертова пространства объемом, выраженным через импульс частиц и полное сечение рассеяния. В каком-то смысле, такая регуляризация идеальна, поскольку она не зависит от параметра обрезания и не требует переопределения наблюдаемых величин. В то же время, физический смысл такого «отбрасывания» неясен.

Второй и третий способ предлагают конкретную реализацию «объемной регуляризации» и имеют прозрачный физический смысл, но взамен требуют переопределять наблюдаемые величины (сечения рассеяния) в зависимости от масштаба обрезания. Во втором способе обрезание задается простой «ступенькой», которая отбрасывает процессы с прицельным параметром больше заданного. В третьем способе обрезание задается гауссовой функцией, а потому оказывается более плавным. В обоих случаях ученые связывали параметр обрезания с наблюдаемыми величинами, полагаясь на динамику столкновений, пересчитывали наблюдаемые и находили с их помощью энтропию запутывания.

Наконец, исследователи подставили в полученные регуляризованные формулы сечения упругого и неупругого рассеяния двух протонов, измеренные на Тэватроне и Большом адронном коллайдере. Эти данные охватывали энергии от 1,8 до 13 тераэлектронвольт, то есть отвечали релятивистским протонам. В результате ученые получили, что с точностью до константы все три способа регуляризации дают примерно один и тот же результат: энтропия запутывания рассеянных частиц слабо зависит от энергии и примерно равна единице.

Вообще говоря, с помощью энтропии запутывания можно описать гораздо более сложные процессы, чем столкновение частиц. Например, в начале этого месяца исследователи из Германии и Бразилии рассчитали, с какой скоростью энтропия запутывания производится в динамическом эффекте Казимира, и показали, что полученная скорость связана со скоростью роста классических нестабильностей. Кроме того, некоторые физики надеются, что с помощью энтропии запутывания можно понять, как устроены квантовые состояния черной дыры.

Дмитрий Трунин

Нашли опечатку? Выделите фрагмент и нажмите Ctrl+Enter.