Физики смоделировали модели Изинга и Поттса с помощью неравновесного конденсата

Kirill Kalinin & Natalia Berloff / Physical Review Letters, 2018

Физики из Кембриджа и Сколтеха предложили моделировать систему спинов с помощью неравновесного конденсата когерентных центров, на который наложено резонансное воздействие. Чтобы подтвердить работоспособность этого метода, ученые показали, что энергия конденсата совпадает с энергией модели Изинга или Поттса, а затем численно смоделировали системы и сравнили результаты. На практике такой конденсат можно реализовать с помощью фотонов или поляритонов, облучаемых лазером с резонансной частотой. Статья опубликована в Physical Review Letters.

В 1924 году немецкий физик Эрнст Изинг защитил диссертацию, в которой качественно описал магнитные свойства вещества с помощью простой математической модели. В этой модели каждой вершине кристаллической решетки сопоставляется число +1 или −1, называемое спином. Грубо говоря, спин можно представить стрелочкой, которая смотрит вверх или вниз. Спины взаимодействуют между собой, поэтому полная энергия системы зависит от их взаимной ориентации: энергия двух спинов положительна, если они смотрят в одну сторону, и отрицательна в противном случае. Если предоставить систему самой себе, спины будут переворачиваться, стараясь минимизировать взаимную энергию, и рано или поздно система «свалится» в основное состояние. Самое интересное свойство модели Изинга — то, что основное состояние системы зависит от ее температуры (при размерности пространства D ≥ 2). При достаточно низких температурах спинам выгодно смотреть в одну сторону, однако при увеличении температуры система испытывает фазовый переход, и спины разупорядочиваются. Это напоминает поведение реальных ферромагнетиков. В действительности с помощью модели Изинга можно описать гораздо более широкий класс явлений, поэтому ученые до сих пор активно ее исследуют (по данным inspirehep.net, за последние три года на эту тему было опубликовано не менее 500 статей).

К сожалению, смоделировать модель Изинга на классических компьютерах очень сложно: чтобы просто описать состояние n спинов, понадобится 2n битов оперативной памяти, а чтобы найти минимум энергии системы, нужно перебрать сопоставимое число конфигураций. Поэтому сложность моделирования экспоненциально растет с числом частиц. Уже при n = 50 классические суперкомпьютеры с трудом справляются с вычислениями. Один из способов преодолеть это препятствие — использовать для расчетов квантовый компьютер, который перебирает состояния гораздо быстрее. В частности, в июле прошлого года группа физиков под руководством Михаила Лукина смоделировала цепочку из 51 спина с помощью квантового компьютера из холодных атомов рубидия, а затем показала, что упорядочение в одномерном кристалле достигается гораздо медленнее, чем того можно ожидать из простых моделей. Получить этот результат на классическом компьютере было практически невозможно. Кроме того, не-универсальные квантовые компьютеры, моделирующие модель Изинга, разрабатывает компания D-wave.

Физики-теоретики Кирилл Калинин и Наталья Берлова предложили еще один способ, в котором модель Изинга моделируется с помощью неравновесных квантовых конденсатов, состоящих из когерентных центров. Фаза волновой функции каждого центра непрерывно меняется в пределах от 0 до 2π, однако ученые смогли спроектировать ее на набор дискретных значений (+1 и −1). Для этого исследователи наложили на систему возбуждения с резонансной частотой ω = nω0, где ω0 — собственная частота системы, при которой фазы выстраиваются таким образом, чтобы суммарная энергия системы достигла минимума. При n = 2 система моделирует модель Изинга, при произвольном n — модель Поттса. Модель Поттса — это очевидное обобщение модели Изинга, в которой спины смотрят в вершины правильного (n−1)-мерного тетраэдра. В модели Изинга n = 2, поэтому тетраэдр вырождается в отрезок. На практике предложенный способ можно реализовать с помощью конденсатов фотонов, поляритонов или других бозе-частиц, облучаемых лазером с резонансной частотой.


Сначала ученые теоретически показали, что предложенная система действительно моделирует модели Изинга и Поттса. Для этого исследователи выписали комплексное уравнение Гинзбурга-Ландау, которое описывает временну́ю эволюцию неравновесных конденсатов, и проинтегрировали в нем пространственные степени свободы. Чтобы сопоставить фазы волновых функций конденсатов и систему спинов, ученые добавили в систему обратную связь между коэффициентом передачи (gain strength), силой взаимодействия и плотностью конденсата. Затем физики наложили на систему резонансное воздействие и нашли ее энергию, пренебрегая шумами. Оказалось, что энергия совпадает с энергией модели Поттса во внешнем магнитном поле — грубо говоря, обратная связь уменьшает энергию волновых функций, фазы которых принимают значения из дискретного набора, и «наказывает» отклонившиеся волновые функции. Следовательно, модель Поттса можно смоделировать, наблюдая за эволюцией предложенной системы. 

Затем физики проверили теоретические предсказания, численно рассчитав значения волновых функций для нескольких простейших случаев. Для этого ученые создавали случайную конфигурацию фаз и прослеживали ее эволюцию с помощью классического метода Рунге — Кутты четвертого порядка точности. Как и ожидалось, конечное распределение хорошо согласовалось с распределениями спинов в аналогичных системах спинов, а также с данными экспериментов.


С помощью моделей Изинга и Поттса можно описать довольно широкий класс явлений, зачастую довольно неожиданных. Например, в июне 2017 года исследователи из университета штата Мичиган предложили математическую модель, которая основана на модели Изинга и описывает возникновение механизмов кооперации в биологических популяциях. Грубо говоря, в этой модели каждый член популяции может находиться в одном из двух состояний (их можно сопоставить спину), а «энергия» системы минимальна, когда состояния всех участников совпадают (действия скооперированы). А в октябре 2017 американские физики построили с помощью модели Изинга сильный и устойчивый классификатор, который выделяет распады бозона Хиггса из экспериментальных данных. Кроме того, к модели Изинга можно свести задачу коммивояжера и раскрашивания графа.

В сентябре прошлого года мы уже писали про работу Натальи Берловой и Кирилла Калинина, в которой они исследовали модель Изинга с помощью поляритонов в полупроводниковом кристалле.

Дмитрий Трунин

Нашли опечатку? Выделите фрагмент и нажмите Ctrl+Enter.