Слипание частиц сыпучего газа разогрело его вопреки уменьшению полной энергии

Сыпучий газ, в котором частицы «склеиваются» при столкновениях, при определенных условиях может разогреваться вопреки тому, что его полная энергия падает. Трое математиков выписали кинетическое уравнение для такого газа и исследовали его в пределе высоких и низких температур, а потом подтвердили теоретические расчеты численным моделированием. Статья опубликована в Nature Communications.

Сыпучие материалы во многом напоминают обычные жидкости — например, если вы высыпите множество мелких частиц в посуду сложной формы, они заполнят все доступное им пространство (типичный пример такого сыпучего материала — манная крупа). При этом важную роль для динамики сыпучих материалов играет тот факт, что частицы плотно прилегают друг другу, цепляются за выступающие края, переворачиваются и перераспределяют энергию благодаря силе трения. Если же вы сведете взаимодействие между соседними частицами к минимуму — например, станете продувать через них сильный поток воздуха, приподнимающий их над поверхностью сосуда, — вы получите систему, которая по своим свойствам напоминает скорее газ, чем жидкость. Такие системы называются сыпучими газами (granular gases).

Сыпучие газы, в свою очередь, обладают рядом интересных свойств. В отличие от обычных газов, которые стремятся увеличить свою энтропию и выровнять плотность во всем занимаемом объеме, сыпучие газы склонны к самоорганизации. Так, если вы поместите сыпучий материал в коробку, разделенную перегородкой с небольшим отверстием, и будете энергично ее встряхивать, со временем бо́льшая часть частиц соберется в одной половине коробке. Этот эффект называется «сыпучим демоном Максвелла» (granular Maxwell’s demon) и является полной противоположностью демону Максвелла из классической термодинамики.

Такие странные свойства сыпучих газов обусловлены тем, что столкновения частиц в них по большей части неупругие, то есть энергия в них не сохраняется. В результате суммарная энтропия системы растет, и «сыпучий демон Максвелла» не нарушает второго закона термодинамики, как могло бы показаться на первый взгляд. Более того, предполагается, что подобное самоупорядочивание играет ключевую роль в динамике природных сыпучих газов — например, в дыме сигареты или протопланетном диске.

В новой работе математики Николай Бриллиантов (Nikolai Brilliantov), Арно Формелла (Arno Formella) и Торстен Пёшель (Thorsten Pöschel) построили математическую модель сыпучего газа, вывели для него кинетическое уравнение и показали, что в некоторых случаях газ может разогреваться вопреки уменьшению своей полной энергии. Кинетическое уравнение — это уравнение, которое описывает, как меняется со временем концентрация частиц с заданными энергиями. Как следует из расчетов ученых, такой разогрев должен происходить на узком участке, на котором газ переходит от «горячего» режима к «холодному».

Для простоты ученые рассмотрели газ мономеров (то есть молекул, у которых нет колебательных степеней свободы — грубо говоря, «шарики», а не «гантели»), которые изначально были равномерно распределены по объему и по энергиям. Кроме того, математики считали, что при столкновении двух частиц их полная кинетическая энергия E уменьшается на величину ε²E, где ε — коэффициент возмещения (restitution coefficient). Чем больше значение ε, тем менее упругим является столкновение. Наконец, когда кинетическая энергия частиц слишком мала, частицы «склеиваются» и в дальнейшем продолжают движение как единый «полимер». При этом пороговое значение энергии W определяется размерами частиц и характером взаимодействий. Функция распределения частиц по энергиям ученые аппроксимировали распределением Максвелла.

Затем ученые вывели кинетическое уравнение Больцмана и рассмотрели его в пределе высоких и низких температур, а также в подробностях исследовали промежуточный участок численно с помощью метода Монте-Карло. В пределе высоких температур пороговое значение W много меньше средней энергии частиц, и «склеивание» почти не происходит. В результате температура газа уменьшается как обратный квадрат от времени его эволюции: T ~ t⁻². Эта зависимость известна как закон Хаффа. Напротив, в пределе низких температур W много больше средней энергии, «склеивание» происходит практически во всех столкновениях, и температура уменьшается гораздо медленнее: T ~ t^−⅓. В промежуточной же области поведение газа оказалось необычным: его температура не уменьшалась, а росла со временем, хотя полная энергия продолжала падать из-за потерь при столкновениях.

По словам ученых, неожиданный рост температуры в данной модели можно объяснить тем, что при столкновениях частиц уменьшается полное число степеней свободы. Из-за того, что энергия и температура связаны соотношения E = ½NkT, где N — число степеней свободы, а k — постоянная Больцмана, это может вызвать рост температуры даже при уменьшении полной энергии.

Ранее мы писали о том, как ученые исследовали сыпучие жидкости — систему сфер или игральных кубиков, насыпанных в банку. В обоих случаях при прикладывании внешнего периодического воздействия частицы стремились упорядочиться и выстроиться в такое положение, когда объем свободного пространства между ними был минимален.

Дмитрий Трунин