Что сделали лауреаты Филдсовской премии 2022 года
Филдсовская премия и медаль присуждается самым выдающимся молодым математикам, не старше 40 лет. Это самая престижная международная премия в математике, она присуждается раз в четыре года на Международном математическом конгрессе (об истории конгрессов читайте в нашем материале «Дело Кантора живет»). Сегодня на торжественной церемонии (которая прошла в Хельсинки вместо российского Санкт-Петербурга) объявили имена лауреатов 2022 года: Джун Ха, Марина Вязовская, Уго Дюминиль-Копен и Джеймс Мейнард. Рассказываем, чем отличился каждый из них.
39-летний Джун Ха, самый старший среди лауреатов, в молодости рассчитывал на карьеру поэта или писателя. В школе его математические способности оценивались невысоко, и молодой человек считал, что математика не для него. И хотя он поступил в Сеульский университет на факультет физики и астрономии, думал Ха о карьере научного журналиста.
Все изменило его знакомство с японским математиком Хэйсукэ Хиронакой, который приехал в Сеульский университет в качестве приглашенного лектора. Ха пришел на его лекцию в расчете сделать с гостем интервью, но вместо этого нашел себе ментора и проводника в математику.
Чтобы рассказать об одной из работ Джуна Ха, за которую ему была присуждена медаль, надо вернуться в начало XX века, когда американский математик Джордж Биркхофф пытался доказать знаменитую теорему о четырех красках. Она гласит, что любую карту можно раскрасить четырьмя красками так, чтобы две области с общим участком границы имели бы разный цвет.
Чтобы использовать алгебраические методы для решения этой задачи в 1912 году, Биркхофф придумал хроматический многочлен, который описывает, сколько вариантов раскраски возможно для графа (карта — это один из типов графа, который можно без пересечения ребер уложить на плоскости, их называют планарными).
Для треугольника — графа с тремя вершинами и тремя ребрами — такой хроматический многочлен будет выглядеть так: t(t − 1)(t − 2), где t — общее количество доступных цветов. Соответственно, в t цветов можно покрасить одну вершину треугольника, для второй вершины цветов останется (t − 1), а для третьей (t − 2). Общее число вариантов раскраски для графа-треугольника оказывается равно t3 − 3t2 + 2t, а хроматический многочлен для квадрата будет выглядеть как t(t — 1)(t — 2)(t — 3) = t4 − 4t3 + 6t2 − 3t.
Чтобы доказать теорему о четырех красках достаточно было доказать, что для любого планарного графа хроматический многочлен при t = 4 больше нуля, то есть у любого существует как минимум один вариант раскраски графа в четыре цвета. Ни Биркхофф, ни математики после него это сделать не смогли, и задача эта по сей день решена не до конца. Но зато у хроматических многочленов обнаружились интересные математические особенности.
Наборы коэффициентов хроматических многочленов обладают двумя свойствами.
Унимодальность: в последовательности их модулей есть один максимум, до него значения растут, после — убывают.
Коэффициенты логарифмически вогнуты: квадрат среднего всегда больше, чем произведение двух крайних.
Например, в случае хроматического многочлена треугольника эти свойства выглядят так:
1 < 3 > 2;
1 × 2 < 32.
В 1968 году математик Рональд Рид (Ronald Read) выдвинул гипотезу, что коэффициенты хроматического многочлена любого графа образуют унимодальную последовательность, а через несколько лет Стюарт Хоггар (Stuart Hoggar) предположил, что для них обязательно и второе свойство — логарифмическая вогнутость.
Джун Ха эти гипотезы доказал. Сделал он это почти случайно: в 2009 году он попытался применить к графам теорию особенностей, которой в основном занимался его учитель Хиронака (особенность — эквивалент физического термина «сингулярность» в русском математическом языке, подробнее об этом читайте в нашем материале «Бездна в яблоке»). Он обнаружил, что если сопоставить графу построенную по нему особенность, это позволяет объяснить свойства исходного графа, используя теорию особенностей. Она позволила, например, объяснить, почему коэффициенты унимодальны и образуют логарифмически вогнутую последовательность. После чтения литературы по теории графов Ха обнаружил, что это хорошо известные гипотезы Рида и Хоггара. «В каком-то смысле я решил задачу, не зная о существовании задачи», — цитирует слова Ха издание Quanta Magazine.
После Ха пошел дальше — и попытался доказать гипотезу, сформулированную Джан-Карло Ротой (Gian-Carlo Rota), которая в целом соответствует гипотезе Рида, но относится к более абстрактным объектам — матроидам. Гипотеза Роты постулирует, что последовательность коэффициентов характеристического многочлена для любого матроида логарифмически вогнута (характеристический многочлен для этих объектов — аналог хроматического многочлена для графов).
Теория сингулярности в этом случае уже не работала, но Ха нашел другой подход, через теорию Ходжа, которая описывает кольца когомологий — объекты, возникающие из гладких функций с бесконечной областью определения.
Ха вместе с коллегами, Эриком Кацем (Eric Katz) и Каримом Адипразито (Karim Adiprasito), смогли найти на реализуемых матроидах (так называют матроиды, которые можно получить из наборов линейно независимых векторов), аналогах колец когомологий, и доказать гипотезу Рота для них. Но для нереализуемых матроидов это долго не удавалось.
В конце концов им помогла индексная теорема Ходжа. Кац и Ха знали, что эта теорема Ходжа позволяет объяснить логарифмическую выпуклость, они знали, как доказать индексную теорему для одного из классов матроидов, но не знали, как это сделать для всех.
Эту проблему решил Адипрозито: он убедился, что для класса матроидов, для которых верна индексная теорема, выполняется также еще некоторые отношения — так называемый набор Келера. Затем он трансформировал матроиды так, что они перешли в другой класс, для которых индексная теорема не была доказана, но при этом был верен набор Келера. И именно набор Келера обеспечил ему возможность доказать, что при этой трансформации сохраняется и индексная теорема.
В 2015 году они опубликовали доказательство гипотезы Рота. Это работа принесла Ха славу, и уже тогда его начали обсуждать, как возможного лауреата следующей Филдсовской премии.
Имя Марины Вязовской в числе претендентов на медаль Филдса называлось чаще всего. Многие прогнозы ставили ее на первое место. Выпускница Киевского университета еще в 2017 году получила премию Математического института Клэя — за решение задачи о плотнейшей упаковке шаров в 24-мерном пространстве.
Эта проблема восходит ко временам Иоганна Кеплера, который сформулировал предположение, что плотнее всего одинаковые шары ложатся при плотной гексагональной упаковке, где каждый шар касается шести других. Хотя это решение кажется очевидным — именно так продавцы выкладывают мандарины или любые другие фрукты и овощи на прилавках, каждый плод ложится в углубление между тремя нижележащими — доказательство гипотезы Кеплера впервые было представлено только в 1998 году Томасом Хейлзом (Thomas Hales), а его проверка была завершена только в 2017 году.
Но гипотезой Кеплера математики не ограничились, и решали сходные задачи для пространств более высоких размерностей.
Вязовская говорит, что она долго знала об этой задаче — статья, посвященная 8-мерному случаю упаковки, вышла в 2003 году, а ее коллега и наставник Андрей Бондаренко был уверен, что у нее есть все необходимые знания для решения этой проблемы. В 2014 году, перебравшись в Берлин, Вязовская взялась за нее всерьез.
Вскоре она доказала, что не существует более плотной упаковки шаров в восьмимерном пространстве, чем решетка E8 (она же решетка Коркина-Золотарева), а затем вместе с Генри Коном, Абинавом Кумаром, Стивеном Миллером и Данилой Радченко показала, что для 24-мерного пространства самая плотная упаковка шаров — так называемая решетка Лича.
В этих пространствах все выглядит иначе — если для трехмерного случая плотной упаковки каждый шар касается шести других, то в 8-мерном — каждая сфера касается 240 других.
Задачи о плотной упаковке шаров в пространствах разных размерностей имеют и прикладные применения — например, для решения проблемы упаковки наибольшего числа каналов связи в определенный частотный диапазон, очистки сообщений от помех.
Более подробно о задачах упаковке шаров в пространствах разных размерностей и вкладе Вязовской в решение читайте в нашем материале «Один сломал, другой потерял».
Работы Дюминиля-Копена — самые «физические» среди лауреатов 2022 года. Французский математик исследует, как происходят фазовые переходы в математических моделях, которые описывают решетки спинов в магнитных материалах.
Свою карьеру Дюминиль-Копен начинал в группе Станислава Смирнова из Женевского университета, который стал лауреатом Филдсовской премии в 2010 году. Его работы во многом продолжают начинания Смирнова.
Основной предмет исследований ученого — статистика фазовых переходов в магнитных материалах и системах с похожими свойствами. Простейшая математическая схема для описания таких решеток — модель Изинга. Она представляет собой решетку из спинов, которые взаимодействуют с соседями и могут принимать одно из двух значений: «вверх» или «вниз».
Наиболее выгодное состояние этой системы зависит от энергии взаимодействия элементов, расстояния между ними и температуры — дополнительной случайно распределенной составляющей. При абсолютном нуле в ферромагнитном материале получается упорядоченная доменная структура — в ней возникают области, у части из них все спины внутри направлены вниз, у других — вверх.
При повышении температуры эта структура начинает разрушаться, и при критической температуре переходит в разупорядоченное состояние. Ферромагнетик с доменной структурой, разогретый до критической температуры (температуры Кюри), превращается в парамагнетик, который может намагнититься во внешнем поле, но довольно слабо, а когда поле убирают — полностью размагничивается. Каждый спин в нем — сам за себя, друг на друга они больше не ориентируются и никаких доменов не остается.
В одномерной решетке при любой температуре больше нуля тепловые возмущения сразу приводят систему в разупорядоченное состояние. У цепочки спинов просто математически нет выгодной упорядоченной конфигурации. В 1924 году Рудольф Пайерлс обнаружил, что для решеток большей размерности это уже не так — и ряд, который описывает развитие возмущений, сходится. При этом он сходится при низких температурах до тех пор, пока значение e2/T больше определенной константы, разной для разных материалов. А при более высоких температурах эта сходимость пропадает. Поэтому при низких температурах возникает порядок и домены, а при высоких — он теряется.
С математической точки зрения самое интересное происходит в момент фазового перехода. Здесь количество микроскопических флуктуаций приводит к изменению качества — макроскопических свойств материала. При фазовом переходе на всех масштабах системы, и на уровне отдельных ячеек, и на уровне доменов, возникают полиномиальные декорреляции. Смирнов обнаружил, что в двумерной решетке Изинга с периодом, который стремится к нулю, в момент фазового перехода параметры модели оказываются инвариантными — и не зависят не только от масштаба модели, но и конформных преобразований решетки.
Уго Дюминиль-Копен рассмотрел фазовые переходы в еще более сложных системах. Во-первых, вместо модели Изинга французский математик работал с более сложной моделью Поттса. Модель Изинга работает со спинами — это бинарные единицы, у них только две возможные ориентации. Реальные ферромагнетики, конечно, устроены сложнее: вектор намагниченности домена может быть направлен не в одну из двух, а в любую сторону. В более общей модели Поттса число возможных поворотов Q тоже дискретно, но их может быть уже больше двух.
Дюминиль-Копен исследовал фазовые переходы переходы в двух-, трех- и четырехмерных системах и различных степенях дискретизации Q (поворота «магнитного момента»), чтобы установить общие закономерности разрушения порядка.
Результатом его работы стали три теоремы.
Во-первых, француз доказал, что в двумерной модели Поттса фазовый переход будет непрерывным, не скачкообразным, только когда Q ≤ 4.
Во-вторых, в трехмерной решетке Изинга (то есть решетке Поттса с Q = 2) фазовый переход непрерывен.
В-третьих, при устремлении периода решетки к нулю четырехмерная модель Изинга стремится в нормальному распределению.
Математик при этом показал, что двумерная модель Поттса оказывается инвариантной относительно вращения решетки, — и таким образом приблизился к доказательству гипотезы, что все физические системы в состоянии фазового перехода конформно инварианты. В этом состоянии в системе теряется анизотропия, характерная для низкотемпературного порядка. Смирнов доказал конформную инвариантность для модели Изинга, Дюминиль-Копен сделал важный шаг к доказательству этого свойства в более сложных системах. Для полного доказательства теперь осталось подтвердить инвариантность относительно изменения масштаба — что это верно для системы и на уровне ячеек, и доменов.
По словам коллег Дюминиля-Копена, математик внес в математическое понимание фазовых переходов беспрецедентную ясность. А его предшественник и учитель Станислав Смирнов говорит, что французу это удалось благодаря мастерству работы и с неравенствами, и с уравнениями, за счет которого статистическая физика пополнилась «множеством красивых теорем с настолько же красивыми доказательствами». А ее границы значительно расширились.
Мейнард — самый молодой среди лауреатов премии, ему 35 лет. Работу, которая принесла ему известность, математик написал в 27. Она посвящена поиску минимального интервала между двумя соседними простыми числами, который встречается бесконечное число раз. Это еще один шаг на пути к доказательству гипотезы о числах-близнецах (подробнее о ней читайте в нашем материале «Братишка, ты цел?»).
Гипотеза заключается в том, что в ряду простых чисел (которые делятся без остатка только на себя и единицу) есть бесконечное множество «близнецов») — чисел, которые отличаются друг от друга на два. Например, пары (3, 5), (11, 13) и (569, 571) — числа-близнецы.
Если двигаться от единицы по последовательности натуральных чисел, то числа-близнецы встречаются все реже, сегодня на поиск новых пар требуется немало вычислительного времени суперкомпьютеров. Последнюю пару нашли в 2016 году, — 2 996 863 034 895 × 21 290 000 ± 1. Вопрос о том, закончатся ли когда-то такие пары, до сих пор открыт.
В расстояниях между простыми числами в ряду натуральных есть закономерности. Например, можно оценить, как меняется их плотность — то есть сколько простых чисел в среднем приходится, например, на каждую тысячу натуральных.
Распределение простых чисел вдоль натурального ряда — одно из важнейших свойств этого множества. По теореме о простых числах, вероятность встретить простое число на интервале от 1 до n оказывается пропорционально n⋅lnn, то в среднем интервал между соседними простыми числами растет, но не за счет удлинения каждого из них, а за счет появления все более длинных интервалов.
Подобраться к доказательству гипотезы о числах-близнецах математики пробуют через более общую гипотезу — гипотезу Полиньяка. Она гласит, что в ряде простых чисел существует бесконечное число таких пар соседей, расстояние между которыми равно 2k, где k может быть вообще любым натуральным числом. И если доказать эту гипотезу хотя бы для какого-то k и потом двигаться к проверке его на все более малых значениях этой переменной, в итоге можно постепенно прийти к гипотезе о числах-близнецах — потому что это гипотеза Полиньяка для k = 1.
Теорема о простых числах ограничивает минимальный интервал между соседними простыми числами сверху, через логарифм числа. И для пары простых чисел p1 и p2 и любого c верным оказывается утверждение: p1 < p2 < p1 + c⋅lnp1.
То есть чтобы подобраться к гипотезе чисел-близнецов, логарифмический член в этом неравенстве надо заменить на константу и потом постепенно проверить его для все меньших и меньших ее значений.
Первые и самые большие шаги к этому сделали сначала Дэниэль Голдстон, Янош Пинтц и Семом Йилдирим, которые в 2005 году придумали, как заменить логарифмический член на константу, а затем китайский математик Чжан Итан, который с помощью алгоритма GPY (названного по фамилиям авторов метода) сделал первую численную оценку. Он показал, что минимальное расстояние между простыми числами, которое встречается бесконечное число раз, не превышает 70 миллионов. Это в 35 миллионов раз больше двух, но намного меньше бесконечности.
Джеймс Мейнард не следил ни за работой Чжана, ни за исследованиями группы Теренса Тао, которая оптимизировала метод Чжана и уменьшила минимальный зазор между простыми числами до 4680. Независимо от них, но с помощью подхода, основанного на том же самом алгоритме GPY, британец уменьшил верхний предел для минимального расстояния между соседними простыми числами, которое встречается бесконечное число раз, с нескольких тысяч сразу до 600.
Мейнард доказал, что для любого n можно найти константу C — такую, что найдется бесконечно много наборов из n идущих подряд простых чисел, шаг между которыми меньше C. Например, сейчас для n = 2 этот интервал составляет 246, а для n = 3 длина отрезка должна быть 433 992, то есть в бесконечном числе отрезков такой длины будут встречаться сразу три простых числа.
До 246 минимальное расстояние между простыми числами удалось сократить Пэйсу Нильсену в 2014 году, который адаптировал подход британского математика. Однако, возможности метода GPY ограничены, поэтому, как считает сам Мейнард, для дальнейшего приближения к доказательству гипотезы близнецов придется ждать качественного прорыва в методах.
Илья Ферапонтов, Александр Дубов