Российский математик получил премию института Клэя

В апреле стали известны лауреаты премии Математического института Клэя, известного своим списком «проблем тысячелетия». Всего будут присуждены три премии. Первая премия — Александру Логунову (СПбГУ) и Евгении Малинниковой (Норвежский институт науки и технологий) за их работы в спектральной геометрии. Вторая премия —  Джейсону Миллеру (Кембриджский университет) и Скотту Шеффилду (MIT), за работы по геометрии Гауссова свободного поля и решение открытых задач в теории случайных двумерных структур. Третья премия присуждена Марине Вязовской (Принстонский университет) за решение задачи о плотнейшей упаковке шаров в 24-мерном пространстве. Список лауреатов опубликован на официальном сайте института.

Премия института Клэя вручается ежегодно с 1999 года за выдающиеся достижения в математике. Первым ее лауреатом стал Эндрю Уайлс, доказавший Великую теорему Ферма. Сама премия представляет собой медаль и грант. Помимо ежегодных премий, институт также присуждает награды за решения «проблем тысячелетия» — от нее отказался в 2010 году Григорий Перельман. 

Александр Логунов и Евгения Малинникова в 2014 году доказали важное математическое утверждение. Ученые показали, что отношение двух гармонических функций, у которых совпадают «нули», является аналитической функцией. В евклидовом пространстве гармоничность означает, что сумма вторых производных функции по всем координатам равна нулю. Аналитичность — свойство «хороших» функций, которые совпадают со своим разложением в ряд Тейлора в окрестности любой точки области определения. Расширив это утверждение математикам удалось создать новый метод комбинаторной геометрии для решения задач. 

В частности, эти работы связаны с известным вопросом «можно ли услышать форму барабана?» — можно ли восстановить форму барабана по характерным частотам его вибраций. Для этого необходимо исследовать специальные функции, называемые собственными. Собственная функция оператора устроена так, что при действии оператора она превращается в саму себя, но умноженную на константу во всех точках. Набор всех таких констант для данного оператора называется его спектром и характеризует его свойства. Очень много важных свойств можно вывести из того, что этот спектр ограничен. 

Среди прочего, жюри премии отмечает работу по определению точной нижней границы для меры нодальных множеств собственных функций оператора Лапласа — Бельтрами на гладких компактных многообразиях (гипотезы Яу и Надирашвили).

Работы Джейсона Миллера и Скотта Шеффилда посвящена свободному гауссову полю — это естественный аналог многомерных броуновских мостов. Результаты математиков могут найти применение в исследовании процессов случайного роста, а также построении теорий квантовой гравитации.

О работе Марины Вязовской мы писали ранее в нашем материале «Один сломал, другой потерял». Математик нашла решение для задачи о плотнейшей упаковке шаров в 8- и 24-мерном пространстве. Эта работа может найти применение в передаче данных.

В 2001 году лауреатом премии института Клэя стал Станислав Смирнов, российский математик. Исследователь доказал формулу Карди для перколяции на плоских решетках (оценивает вероятность пробоя). Позднее за работы в этой области математик получил престижную Филдсовскую премию.

Владимир Королёв