Кругосветка по додекаэдру

«Платоновы тела» — пять возможных в трехмерном пространстве правильных многогранников — изучают со времен античности, но даже сейчас математики узнают о них что-то новое. Американские ученые впервые доказали, что на додекаэдре существует замкнутый путь, начинающийся в одной из вершин и везде идущий по прямой, не заходя в другие вершины. О предыстории этой задачи, чем она интересна и как была решена, N + 1 рассказывает математик Виктор Клепцын.

Вопрос, на который отвечает работа американских математиков Джаядева Атрейи, Дэвида Аулисино и Патрика Хупера, формулируется чисто геометрически. Представьте себе планету в форме додекаэдра, в вершинах которой находятся дома живущих на ней математиков. Может ли один из них выйти из дома и  «по прямой» вернуться обратно,  не заходя в дома коллег? А если может, то как описать такой путь?

Конечно, сначала нужно уточнить, что означает «идти по прямой» на поверхности многогранника. 

1. Можно сказать, что любой достаточно небольшой участок пути является кратчайшим (это — простейший случай геодезической линии).
   
2. Либо, что по каждой грани планеты-многогранника нужно идти просто по прямой, а при переходе через ребро две соседние грани нужно вдоль этого ребра развернуться на плоскость — и тогда отрезки пути должны оказаться на одной прямой (пример на рисунке ниже).
   

Математикам уже было известно, что на других правильных многогранниках — на тетраэдре, октаэдре, кубе и икосаэдре — таких траекторий нет. На рисунке ниже изображена одна «не работающая» попытка построить такую траекторию на кубе: на изображенной развертке точкам A и C соответствует одна и та же вершина куба, но двигаясь по прямой AC на кубе мы по пути наткнемся на другую вершину, B. Так будет всегда — при любой попытке пройти из одной вершины в неё же мы непременно пройдем и через какую-то другую вершину.

Для тетраэдра это несложно доказать. Если бы на правильном тетраэдре ABCD такая траектория — например, начинающаяся и заканчивающаяся в вершине A — существовала, можно было бы «прокатить» тетраэдр вдоль нее, перекатывая его с грани на грань по плоскости и «отпечатывая» каждую очередную грань. 

Сама траектория на плоскости тогда стала бы прямой (точно так же, как становятся прямыми «достроенные после отражения» лучи в школьной физике), а посещенные грани и соответствующие им вершины были бы частью решетки, изображенной на рисунке ниже. Но любой отрезок между одинаково помеченными вершинами там проходит через вершину с другой пометкой, просто из соображений четности. Так предположение о существовании такого пути на тетраэдре приходит к противоречию.

Для других правильных многогранников, впрочем, столь простым рассуждением обойтись не получится. Но отсутствие таких траекторий для октаэдра, куба и икосаэдра также было доказано — и лишь вопрос для додекаэдра оставался открытым.

И ответ на него, в отличие от всех остальных, оказался положительным: на додекаэдре такие пути существуют. Первый пример такого пути (причем несамопересекающегося) изображен на рисунке ниже. Склеив эту (нестандартную) развертку, можно получить правильный додекаэдр — а вершины, которые соединяет проведённый отрезок, становятся одной и той же.

В следующей работе эти же авторы вместе с еще одним коллегой удалось расклассифицировать все такие траектории. Оказалось, что их существует бесконечное множество — и что они делятся на 31 класс эквивалентности. На представителей всех этих классов можно посмотреть тут.

Вопрос о таких путях связан с общей теорией трансляционных поверхностей (также называемых очень плоскими). Такие поверхности получаются из одного или нескольких многоугольников на плоскости, стороны которых разбиты на пары равных и параллельных, и каждая пара сторон которых склеена по совмещающему их параллельному переносу. Простейший пример такой поверхности — тор, и наверняка многим известны видеоигры, где игровые персонажи, покидая экран через одну сторону, сразу же возвращаются обратно с другой.

Теория таких поверхностей (и связанные с ними вопросы) оказывается очень глубокой — можно вспомнить работы лауреатов премии Филдса Мариам Мирзахани, Максима Концевича, Курта МакМюллена, Жана-Кристофа Йоккоза, лауреата премии Breakthrough Prize Алекса Эскина, Антона Зорича, и многих других.

Они оказываются связаны как с биллиардами в многоугольниках (о них недавно писал N + 1), так и с комплексным анализом и пространствами Тейхмюллера. Можно вспомнить задачу о «запутывании ветра в деревьях» и подход к ней через коцикл Концевича–Зорича, можно вспомнить «теорему о волшебной палочке» Эскина–Мирзахани. В общем, получающаяся область вовсе не так проста, как может показаться на первый взгляд.

Но вернемся к исходной задаче. Для описания пути по додекаэдру авторы взяли трансляционную поверхность, которая получается, если на плоскости разместить каждую грань в каждом из возможных положений, в котором она может оказаться при «перекатывании» фигуры. Эти грани объединяются в 10 поворотов одной развертки додекаэдра — с отождествленными соответствующим образом оставшимися сторонами.

Получающаяся поверхность огромна: топологически это сфера с 81 ручкой. На ней 20 вершин, которые соответствуют 20 вершинам додекаэдра. В каждой из этих вершин сходятся 30 пятиугольников, образующих «конические особенности»: полный угол отличен от 360° — правда, в бó‎льшую, а не меньшую, как в вершине обычного конуса, сторону. Однако — и в этом сила этого подхода — геодезические линии на ней становятся просто прямыми — продолжающимися сквозь «склеенные» пары сторон.

Кроме того, есть гораздо более «ручная» трансляционная поверхность Π₅ — «двойной пятиугольник», получающаяся всего из двух пятиугольников: одного вершиной вверх, другого вниз.

И из огромной поверхности S в Π₅ есть простое отображение («разветвленное накрытие»): все пятиугольники из S параллельно переносятся на пятиугольник Π₅ той же ориентации (вершиной вверх/вниз). Такое отображение сопоставляет любому пути из вершины в вершину (не обязательно ту же самую) на S путь из вершины в вершину на Π₅.

Правда, по пути на двойном пятиугольнике (да и на додекаэдре) не очень просто сказать, соответствует ли он пути на S, идущем из вершины в ту же самую вершину.

Далее к трансляционной поверхности можно применять аффинные преобразования плоскости — такие, как «скашивающее» преобразование (x, y) → (x+y, y). Они переводят прямые в прямые, поэтому прямому пути на исходной трансляционной поверхности соответствует прямой путь на поверхности-образе. Иногда исходная поверхность переходит в себя, как тор, полученный из квадрата, на рисунке ниже.

Более того, некоторые трансляционные поверхности «достаточно симметричны», чтобы преобразований, переводящих их в себя, было бы «много». И — что самое важное для этой задачи — чтобы применение таких преобразований позволяло «упрощать» геодезические линии на них. Так последовательными преобразованиями (x,y) → (x±y,y) и (x,y) → (x,y±x) любая замкнутая геодезическая на квадрате переводится просто в геодезическую линию вдоль ребра.

А упрощение замкнутых геодезических линий на двойном пятиугольнике Π₅ можно посмотреть на видео, выигравшем в 2012 году конкурс «Станцуй свою диссертацию» в разделе математики и физики. Его снимала Диана Дэвис, один из авторов работы, где был исследован случай тетраэдра и куба.

 

На двойном пятиугольнике любая геодезическая линия из вершины в вершину упрощается до либо ребра, либо диагонали одного из пятиугольников:

Правда, не любое преобразование нашего двойного пятиугольника соответствует преобразованию, сохраняющему всю огромную поверхность S. Однако «поднимающихся» на S преобразований двойного пятиугольника Π₅ «много»: они образуют подгруппу конечного индекса (а именно, индекса 2106). Это значит, что любое преобразование Π₅ разбивается в композицию одного из 2106 фиксированных преобразований (о которых можно думать, как об «остатках») и преобразования, «поднимающегося» на S.

Поэтому любой путь из вершины в вершину на S может быть переведен (преобразованием S) в один из конечного числа путей, проецирующихся в 2106 вариантов образов σ₀ и σ₁ на Π₅. Это сводит задачу описания всех путей на додекаэдре к конечному перебору: для каждого образа σ₀ или σ₁ на Π₅ нужно проверить, «поднимается» ли он до пути, соединяющего одну и ту же вершину на S и, тем самым, на додекаэдре.

Это большая работа — как и аккуратный учет того, какие из получающихся путей совмещаются вращением додекаэдра. Но ее в принципе уже можно сделать, просто поручив этот конечный перебор компьютеру.

Я закончу этот текст комментарием Антона Зорича: «Двадцать лет этот вопрос был совершенно вне досягаемости; десять лет назад он бы потребовал огромных усилий по написанию (тогда не существовавших) программ. Теперь эти программы, написанные Вансаном Делекруа, Самюэлем Лельевром, Шарлем Фужероном и другими специалистами в этой области — существуют и доступны всем желающим, как часть открытой и бурно развивающейся математической системы SAGE. Так что все факторы сошлись вместе!»

Виктор Клепцын