«Платоновы тела» — пять возможных в трехмерном пространстве правильных многогранников — изучают со времен античности, но даже сейчас математики узнают о них что-то новое. Американские ученые впервые доказали, что на додекаэдре существует замкнутый путь, начинающийся в одной из вершин и везде идущий по прямой, не заходя в другие вершины. О предыстории этой задачи, чем она интересна и как была решена, N + 1 рассказывает математик Виктор Клепцын.
Вопрос, на который отвечает работа американских математиков Джаядева Атрейи, Дэвида Аулисино и Патрика Хупера, формулируется чисто геометрически. Представьте себе планету в форме додекаэдра, в вершинах которой находятся дома живущих на ней математиков. Может ли один из них выйти из дома и «по прямой» вернуться обратно, не заходя в дома коллег? А если может, то как описать такой путь?
Конечно, сначала нужно уточнить, что означает «идти по прямой» на поверхности многогранника.
- Можно сказать, что любой достаточно небольшой участок пути является кратчайшим (это — простейший случай геодезической линии).
- Либо, что по каждой грани планеты-многогранника нужно идти просто по прямой, а при переходе через ребро две соседние грани нужно вдоль этого ребра развернуться на плоскость — и тогда отрезки пути должны оказаться на одной прямой (пример на рисунке ниже).
Сама траектория на плоскости тогда стала бы прямой (точно так же, как становятся прямыми «достроенные после отражения» лучи в школьной физике), а посещенные грани и соответствующие им вершины были бы частью решетки, изображенной на рисунке ниже. Но любой отрезок между одинаково помеченными вершинами там проходит через вершину с другой пометкой, просто из соображений четности. Так предположение о существовании такого пути на тетраэдре приходит к противоречию.
И ответ на него, в отличие от всех остальных, оказался положительным: на додекаэдре такие пути существуют. Первый пример такого пути (причем несамопересекающегося) изображен на рисунке ниже. Склеив эту (нестандартную) развертку, можно получить правильный додекаэдр — а вершины, которые соединяет проведённый отрезок, становятся одной и той же.
Вопрос о таких путях связан с общей теорией трансляционных поверхностей (также называемых очень плоскими). Такие поверхности получаются из одного или нескольких многоугольников на плоскости, стороны которых разбиты на пары равных и параллельных, и каждая пара сторон которых склеена по совмещающему их параллельному переносу. Простейший пример такой поверхности — тор, и наверняка многим известны видеоигры, где игровые персонажи, покидая экран через одну сторону, сразу же возвращаются обратно с другой.
Они оказываются связаны как с биллиардами в многоугольниках (о них недавно писал N + 1), так и с комплексным анализом и пространствами Тейхмюллера. Можно вспомнить задачу о «запутывании ветра в деревьях» и подход к ней через коцикл Концевича–Зорича, можно вспомнить «теорему о волшебной палочке» Эскина–Мирзахани. В общем, получающаяся область вовсе не так проста, как может показаться на первый взгляд.
Но вернемся к исходной задаче. Для описания пути по додекаэдру авторы взяли трансляционную поверхность, которая получается, если на плоскости разместить каждую грань в каждом из возможных положений, в котором она может оказаться при «перекатывании» фигуры. Эти грани объединяются в 10 поворотов одной развертки додекаэдра — с отождествленными соответствующим образом оставшимися сторонами.
Кроме того, есть гораздо более «ручная» трансляционная поверхность Π5 — «двойной пятиугольник», получающаяся всего из двух пятиугольников: одного вершиной вверх, другого вниз.
Далее к трансляционной поверхности можно применять аффинные преобразования плоскости — такие, как «скашивающее» преобразование (x, y) → (x+y, y). Они переводят прямые в прямые, поэтому прямому пути на исходной трансляционной поверхности соответствует прямой путь на поверхности-образе. Иногда исходная поверхность переходит в себя, как тор, полученный из квадрата, на рисунке ниже.
На двойном пятиугольнике любая геодезическая линия из вершины в вершину упрощается до либо ребра, либо диагонали одного из пятиугольников:
Поэтому любой путь из вершины в вершину на S может быть переведен (преобразованием S) в один из конечного числа путей, проецирующихся в 2106 вариантов образов σ0 и σ1 на Π5. Это сводит задачу описания всех путей на додекаэдре к конечному перебору: для каждого образа σ0 или σ1 на Π5 нужно проверить, «поднимается» ли он до пути, соединяющего одну и ту же вершину на S и, тем самым, на додекаэдре.
Это большая работа — как и аккуратный учет того, какие из получающихся путей совмещаются вращением додекаэдра. Но ее в принципе уже можно сделать, просто поручив этот конечный перебор компьютеру.
Я закончу этот текст комментарием Антона Зорича: «Двадцать лет этот вопрос был совершенно вне досягаемости; десять лет назад он бы потребовал огромных усилий по написанию (тогда не существовавших) программ. Теперь эти программы, написанные Вансаном Делекруа, Самюэлем Лельевром, Шарлем Фужероном и другими специалистами в этой области — существуют и доступны всем желающим, как часть открытой и бурно развивающейся математической системы SAGE. Так что все факторы сошлись вместе!»
Виктор Клепцын