Андрей Коняев

Главный редактор

Математические идеи и деформация

В эти дни в Рио-де-Жанейро проходит 58 Международная математическая олимпиада, в которой участвуют более ста стран мира. Россию на ней представляют шесть школьников из разных регионов страны. Узнать о них подробнее можно на сайте Рокетбанка, который также предлагает всем желающим поддержать нашу команду материально — для этого вам достаточно просто оставить заявку на получение бесплатной карты банка, и банк перечислит на счет нашей сборной тысячу рублей. Вместе с Рокетбанком N + 1 хочет напомнить читателям, что математика — это не только замечательная точная наука, но еще и удивительные человеческие судьбы. Для начала прочитайте историю о том, как над одними и теми же задачами в разное время думали очень непохожие люди, жизнь которых сложилась совсем по-разному.

В 1977 году в Тегеране родилась девочка по имени Мариам Мирзахани (Maryam Mirzakhani). Когда она пошла в школу, с математикой у нее не ладилось. Говорили, что у Мариам не было таланта. Но ей казалось, что талант у нее был, и она принялась усиленно заниматься.

Важно напомнить, что всего через два года после рождения Мариам в Иране произошла революция, монархия была свергнута и провозглашена Исламская республика. Как следствие, например, женщинам нельзя было появляться в публичных местах с непокрытой головой. Носила платок и Мариам.

Так вот, Мариам усиленно занималась и очень скоро оказалась в школе Фарзанеган для одаренных девочек. В Иране с самого начала очень серьезно относились к образованию вообще. И там, в этой школе, с нормальными учителями, выяснилось, что в математике Мариам — гений.

Точнее, как минимум, очень одаренный ребенок. Настолько одаренный, что в 1994 году она стала первым иранским школьником, взявшим золотую медаль на Международной математической олимпиаде. А в 1995 году взяла вторую золотую медаль, решив все задачи на максимальное число баллов.

Нет ничего удивительного, что после такого успеха Мариам легко поступила в Технологический университет имени Шарифа — главное и самое престижное учебное заведение Ирана. Затем было много всего интересного: в 1998 году она пережила аварию автобуса, в которой погибло семеро ее коллег-математиков, одних из лучших в стране. В 1999 году Мирзахани получила степень бакалавра в своем университете и отправилась в Гарвард, где в 2004-м защитила диссертацию.

Диссертация Мирзахани была посвящена любопытному вопросу, связанному с геометрией так называемых гиперболических пространств и их геодезическими. Что такое геодезические? Это аналоги прямых на поверхностях. Прямая в привычной нам геометрии реализует минимум расстояния между двумя точками. То же самое делает геодезическая, правда, если эти две точки расположены достаточно близко.

В общем виде такая кривая задается системой дифференциальных уравнений второго порядка, поэтому между далекими точками может быть не одна геодезическая, а несколько.

Представим себе сферу. На ней решением уравнений геодезических являются большие круги, то есть круги, полученные пересечением сферы с плоскостью, проходящей через ее центр. Если взять два полюса сферы, то между ними существует бесконечное количество геодезических. Легко видеть, что все геодезические на сфере замкнуты и имеют одну длину.

Если сферу начать мять, то замкнутых геодезических будет становиться все меньше и меньше. Геодезические станут портиться: некоторые перестанут быть замкнутыми, а некоторые начнут самопересекаться. Нас интересует вопрос: сколько геодезических выживет? Знаменитая теорема о трех геодезических говорит, что (как следует из названия) выживут три. То есть на любой топологической сфере есть как минимум три геодезические, которые замкнуты и не имеют самопересечений.

Ситуация поменяется, если мы будем говорить о гиперболических поверхностях. Эти поверхности, локально устроенные как гиперболоид (использованный, например, в конструкции Шуховской башни или градирни ТЭЦ), то есть, относительно касательной плоскости, по одному направлению выгнутые ниже плоскости, а по другому — выше.

Оказалось, что на достаточно хороших (математики говорят компактных) поверхностях такого рода число замкнутых геодезических без самопересечений бесконечно. Но, при этом, они все не просто имеют разную длину — для любого числа L существует конечное число замкнутых геодезических с длиной не больше L.

Так вот, Мирзахани показала, что число таких геодезических растет как Lk, где k = 6g - 6. Тут g означает род поверхности (количество приклеенных к сфере ручек, если кто знаком с такой терминологией). Важно, что для доказательства этой теоремы она воспользовалась методом, который никто в этой области до нее не применял.

Метод оказался настолько успешен, что в 2014 году Мариам стала первой в мире женщиной, получившей Филдсовскую медаль — пожалуй, самую престижную награду в математике.

Свой метод и поздние работы Мирзахани создала во многом благодаря пространствам Тейхмюллера, замечательному математическому объекту, открытому Освальдом Тейхмюллером. Во многом, если не во всем, Освальд был антиподом Мирзахани.

Освальд родился в 1913 году в Нордхаузене. В три года он самостоятельно научился считать и писать, чем немало удивил родителей. Отец Освальда был ветераном Первой мировой, и его опыт сыграл в формировании мировоззрения юного Тейхмюллера решающую роль (среди прочего, не давал развиваться его математическим талантам). По-настоящему Освальд начал заниматься образованием только после смерти отца, когда мать отправила его в гимназию в Нордхаузене.

В 1931 году Освальд стал студентом Геттингенского университета и параллельно — членом НСДАП. С этого момента начинается его карьера ученого и нациста. Будучи физически крепким парнем, он довольно быстро оказался в штурмовом отряде, а в 1933 году организовал бойкот одного из преподавателей, Эдмунда Ландау. Как следовало из объяснительной Тейхмюллера, он просто хотел защитить немецких студентов от «еврейского преподавания интегрального исчисления».

Всего в 21 год Освальд Тейхмюллер написал диссертацию, а уже в 1935-м защитил ее. В 1937 году он переехал в Берлин и поступил на работу к Людвигу Бибербаху, другому известному математику и нацисту. Вместе они всего за два года выпустили семь работ, заложивших основу теории пространств, которые позже получат название пространств Тейхмюллера.

Несмотря на то, что объект, о котором идет речь, достаточно сложный, коротко его можно описать так: это пространство всевозможных деформаций поверхности. Помните, что Мирзахани изучала свойства геодезических именно на деформированных поверхностях? Так вот, Тейхмюллеру удалось заложить основу для изучения пространств деформаций. Которые, как оказалось, обладают многими замечательными и неожиданными свойствами.

В 1939 году Тейхмюллер попал в армию и в составе вермахта участвовал в захвате Норвегии. В 1941 году Бибербах вернул Тейхмюллера в Берлин, где ему предстояло заниматься вопросами шифрования. В феврале 1943 года, в ответ на поражение вермахта под Сталинградом, в Германии провозгласили начало тотальной войны. Освальд Тейхмюллер, несмотря на протесты Бибербаха, написал ходатайство лично Гитлеру, и его отправили на Восточный фронт. В конце августа 1943-го его отряд попал в окружение под Курском. В начале сентября, при очередной попытке прорыва, Освальд Тейхмюллер погиб.

Мариам Мирзахани умерла 14 июля 2017 года, после почти четырехлетней борьбы с раком. В этот день многие государственные газеты Ирана нарушили табу на изображение женщины без головного убора: они опубликовали фото Мариам на первых страницах.

Это важное событие для Ирана — не только дань памяти выдающемуся математику и человеку, служившему символом национальной гордости (пусть Мариам Мирзахани давно проживала в Америке, президент Ирана публично выразил «глубокую скорбь и печаль» в связи с ее смертью). Речь еще идет о примере, который Мариам показывала как собственно иранским ученым, так и простым людям, в частности женщинам, — чего может добиться человек собственным умом и собственной настойчивостью. А от Освальда Тейхмюллера остались только его теории, которые, как известно, не имеют человеческого измерения.

Сегодня у вас есть возможность поддержать молодых российских математиков, которые также, возможно, будут вершить будущее науки. Для этого вам достаточно присоединиться к #мырешаем.


Ранее в этом блоге

Нашли опечатку? Выделите фрагмент и нажмите Ctrl+Enter.