Математики впервые описали поверхности Тейхмюллера. И превратили их в биллиарды

Математики Кертис Макмуллен, Ранен Макамел, Алекс Райт и Алекс Скин предложили два новых типа так называемых оптимальных биллиардов (это не опечатка, подробно про биллиарды можно посмотреть тут). Сделать это им удалось благодаря открытию, совершенному в другой области математики — геометрии и пространствах Тейхмюллера. Коротко о работе пишет Quanta.

В традиционном бильярде шары катаются по ровному плоскому прямоугольному столу с лузами, расположенными в углах и серединах больших сторон. Правила для разных типов игры (русский бильярд, пул и другие) отличаются, но основная задача игроков — забивать шары в лузы с помощью кия.

Математический биллиард заимствует у игры основную концепцию, но делает ее более абстрактной: по столу, который представляет собой замкнутую часть плоскости, ограниченную кусками кривых (которые могут сходится в некоторых точках под углами, в этом случае говорят о кусочно-гладкой границе), движется тело — материальная точка. Достигнув границы она отражается по правилу «угол падения равен углу отражения». В зависимости от задачи дополняется условие ее поведения в углу — точка может там останавливаться или возвращаться обратно по той же траектории.

Биллиарды изучались классиками математики и механики, однако считались чем-то очень простым. Ситуация изменилась в 70-х годах прошлого века, когда оказалось, что эти системы — то есть точка, движущаяся в замкнутом пространстве, — способны демонстрировать все многообразие хаотического поведения. 

Тогда же был обозначен класс так называемых оптимальных биллиардов. В них для любого начального положения тела и начального направления его движения есть всего два варианта развития событий: траектория либо замкнута, то есть тело рано или поздно вернется туда, откуда стартовало, либо траектория всюду плотна. Последнее означает, что тело приближается сколь угодно близко к любой точке стола, если дать ему достаточно много времени для движения, или просто проходит через эту точку.

Оказалось, что такие оптимальные биллиарды в треугольных областях тесно связаны с другим, гораздо более сложным объектом под названием кривые Тейхмюллера. Если совсем грубо, то это кривые с некоторыми очень хорошими свойствами в пространствах Тейхмюллера высокой размерности. В общих чертах о пространствах и самом Тейхмюллере мы недавно писали. Кстати, один из авторов работы — Алекс Райт — работал с Мариам Мирзахани, которой посвящена существенная часть заметки по ссылке.

До 2016 года были известны только кривые Тейхмюллера. Существуют ли поверхности размерностью больше единицы (кривые — это поверхности размерности 1) с такими же хорошими свойствами, математики не знали. Но в 2016 году Макмуллен, Макамел и Райт опубликовали статью, в которой предъявили пример таких поверхностей. В новой работе им, следуя аналогии с кривыми, удалось для некоторых из поверхностей построить подходящие биллиарды, но не в треугольниках, а уже в четырехугольниках.

Четырехугольники, о которых идет речь в работе, невыпуклы. При этом, как показывает новая работа, для оптимальности не важны длины сторон, важны соотношения углов. В новых биллиардах соотношения углов составляют 1:1:1:9 и 1:1:2:8.

Андрей Коняев