Март, четырнадцатое
Как вычислить число 𝞹
Каждый год 14 марта мы публикуем материал, посвященный числу 𝞹. Три года назад это была сложная математическая задача (вот, на всякий случай, ее решение), два года назад — материал про экспериментальные способы вычисления числа 𝞹, в прошлом году — веселая игра. На этот раз по просьбе N + 1 математик Владимир Потапов рассказал о том, как число 𝞹 можно вычислить математическим путем, с помощью различных — подчас необычных — формул.
Еще в древности люди заметили, что отношение длины окружности к ее диаметру близко к трем, но не точно три, а чуть больше. Причем это отношение не зависит ни от диаметра окружности, ни от места, где она проведена. В те времена это отношение, названное впоследствии числом 𝞹, не сильно выделялось из множества других чисел, которые можно определить опытным путем. Таких, как отношение диагонали квадрата к его стороне или отношение площадей квадрата и равностороннего треугольника с такой же, как у квадрата, стороной.
Отцом числа 𝞹 следует считать Архимеда, которого называют автором удивительных открытий, что отношение 𝞹 не приближенно, а в точности связывает не только диаметр и длину окружности, но и площадь круга и квадрат его радиуса, объем шара и куб его радиуса и даже площадь сферы и квадрат ее радиуса. То есть Архимед доказал известные всем со школы формулы: L = 2πr, S1 = πr2, V = 4/3 × πr3 и S2 = 4πr2.
Архимеду принадлежит также первая не опытная, а теоретическая (методом построения описанных и вписанных в круг многоугольников) оценка числа 𝞹: 3 + (10/71) < 𝞹 < 3 + (1/7). То есть он нашел первые три десятичные цифры числа 𝞹 = 3,14..., что и определило сегодняшнюю дату.
Впоследствии математики поняли, что число 𝞹 связывает объем многомерного шара и степень его радиуса при любой размерности пространства (с рациональным множителем, уже зависящим от размерности: для 2х измерений это 1, для 3х измерений — 4/3). Таким образом, число 𝞹 не изменится даже для исследователей, живущих в пространствах с другим числом измерений.
Однако отношение длины окружности к ее диаметру меняется при искривлении пространства и совпадает с нашей константой 𝞹 только в «плоском» однородном случае, проще говоря в пространстве, для которого справедлива теорема Пифагора. Как утверждает теория относительности, рядом с горизонтом событий черной дыры пространство сильно искривлено. Неужели цивилизация, которой повезло возникнуть в подобном месте, может не подозревать о существовании константы 𝞹?
Оказывается, число 𝞹 неожиданно возникает просто из натурального ряда чисел. Английский математик Джон Валлис, старший современник Исаака Ньютона, открыл удивительную формулу:
Многоточие в конце формулы означает, что если мы перемножим достаточно много четных чисел в числителе и нечетных в знаменателе, то получим результат, сколь угодно близкий к числу 𝞹/2.
Еще более удивительную для непосвященных формулу с участием числа 𝞹 вывел великий математик Леонард Эйлер, бóльшую часть своей долгой научной карьеры проработавший в Петербургской академии наук:
Эта формула была признана «самой красивой теоремой в математике». Здесь
= 2,71828... — константа Эйлера,
= √−1 — мнимая единица и 𝞹 — конечно, наше число 𝞹. На самом деле формулаЭйлера эквивалентна сразу двум равенствам:
где n! = 1 × 2 × 3···(n − 1) × n.
Конечно, затруднительно вычислять 𝞹 из этих формул как корень уравнения бесконечной степени. А уравнения конечной степени с целыми коэффициетами, корнем которого было бы число 𝞹, не существует! Это доказал в конце XIX века немецкий математик Фердинанд фон Линдеман, решив заодно знаменитую античную проблему «квадратуры круга». То есть он показал, что, имея отрезок, равный диаметру круга, невозможно только с помощью циркуля и линейки построить квадрат, площадь которого равна площади круга.
Другая знаменитая формула Эйлера:
уже пригодна для приближенного вычисления числа 𝞹. И даже более подходит для этой цели, чем формула великого немецкого философа и математика Готфрида Лейбница:
Впоследствии выяснилось, что эту формулу задолго до Лейбница вывел индийский математик и астроном Мадхава. Формула Лейбница на самом деле является частным случаем формулы разложения арктангенса в ряд Тейлора:
при подстановке x = 1. Долгое время наиболее удобным для вычисления приближений числа 𝞹 считалось равенство английского математика Джона Мэчина, который был секретарем Лондонского королевского общества, когда его возглавлял Исаак Ньютон. Вот это равенство Мэчина:
Для вычисления числа 𝞹 по формуле Мэчина нужно сначала вычислить arctg1/5 и arctg1/239 с помощью приведенного выше разложения арктангенса в ряд Тейлора, которое, по-видимому, впервые нашел сам Исаак Ньютон.
Число 𝞹 возникает в математике в самых неожиданных местах. Например, математик Абрахам де Муавр (бежавший в Англию из Франции, где его преследовали как гугенота) обнаружил формулу:
Теперь ее называют формулой Эйлера-Пуассона, или интегралом Гаусса.
Сам Муавр, а также выдающиеся математики Пьер-Симон де Лаплас и Карл Фридрих Гаусс в разной степени общности и строгости доказали, что функция Φ(x) = e−x2/2/√2𝞹 (из формулы Эйлера-Пуассона следует, что интеграл от функции Φ по вещественной прямой равен 1) является плотностью нормального, или гауссова, распределения, которое является предельным для средних арифметических последовательности независимых случайных величин.
Это означает, например, если мы будем n серий по m раз подбрасывать монету, вычислять разность между числом выпавших «орлов» и «решек» и записывать результат в таблицу, то при росте n и m построенная по таблице гистограмма будет все больше походить на график функции Φ. Эта теорема служит фундаментом для современной квантовой физики, обеспечивая возможность извлекать из многократных измерений случайных событий строгие закономерности.
Казалось бы, тысячелетняя история исследований позволяет предположить, что мы не упустили ничего важного о числе 𝞹. Однако в 1997 году, совсем недавно в историческом масштабе, произошла сенсация. Саймон Плафф нашел новое представление для числа 𝞹 в виде ряда:
которое не только требует гораздо меньше слагаемых для вычисления числа 𝞹 с заранее заданной точностью, но и позволяет вычислить любую цифру в двоичном представлении числа 𝞹, не вычисляя предыдущие цифры.
Владимир Потапов
Она проходит в Японии
Российские школьники выиграли пять золотых и одну серебряную медаль на 64 Международной математической олимпиаде (IMO-2023), которая проходит со 2 по 13 июля в японском городе Тиба. Об этом N + 1 сообщил руководитель команды Кирилл Сухов — преподаватель петербургского Президентского физико-математического лицея (ФМЛ) № 239. Золотых медалей удостоились Александр Гнусов из Кирова (37 баллов), Алиса Волкова из Санкт-Петербурга (37 баллов), Ратибор Коптилин из Новосибирска (36 баллов), Роман Кузнецов из Санкт-Петербурга (36 баллов) и Эльдар Хисамутдинов из Санкт-Петербурга (35 баллов). Серебряную медаль получил Павел Прозоров из Санкт-Петербурга (28 баллов). Из-за международных санкций организаторы олимпиады еще в прошлом году отстранили Россию от участия в ней, но разрешили россиянам состязаться в качестве частных лиц. Если бы российских участников допустили в качестве команды, то в ее активе было бы 209 баллов, что соответствует четвертому месту — после сборных Китая, США и Южной Кореи. Следует отметить, что в предыдущие годы россияне также добивались больших успехов на Международной математической олимпиаде. В 2022 году они завоевали три золотых и три серебряных медали, а в 2021 году — пять золотых и одну серебряную медаль.