Жизнь π

14 марта — неформальный праздник среди математиков и всех, кто неравнодушен к математике, день числа π (03.14). Это одно из самых необычных чисел, с которыми мы встречаемся в нашей жизни. Например, существует утверждение (еще не доказанное), что в его десятичной записи можно найти любую конечную последовательность чисел (даже 999999 или 0123456789). По случаю праздника мы решили собрать для наших читателей пять (на самом деле шесть) очень странных экспериментальных способов приближенного вычисления числа π. Каждый из них вы можете испытать самостоятельно.

Начнем с того, что число π относится к классу трансцендентных чисел — это значит, что его нельзя получить как корень многочлена (решая уравнение, в котором все коэффициенты многочлена рациональные). Это отличает его от алгебраических иррациональных чисел, например корня из двух. Сама по себе константа определяет отношение длины окружности к ее диаметру. Исторически число π вычисляли приближенно, через отношение натуральных чисел. Архимед использовал для этого соотношения между диаметрами и периметрами вписанных и описанных около окружности правильных многоугольников, получив нижнюю границу числа как 223/71, а верхнюю — 22/7. Китайские математики использовали дробь 355/113 (дает семь правильных знаков числа). Следующим этапом было представление числа π в виде бесконечных сумм и произведений. На сегодняшний день есть математические формулы, позволяющие вычислить даже определенный знак двоичной или шестнадцатеричной записи числа π, без вычисления предыдущих — формула Бэйли-Боруэйна-Плаффа.

Однако если вам по душе ставить эксперименты, а не сидеть с вычислениями на бумажке, то вот как это можно сделать.

0. Число π в окружности

Это самый простой способ, основанный на определении числа π. Если вы хотите чего-то посложнее, сразу переходите дальше.

Вам потребуются: нитка, линейка и какой-нибудь круглый предмет большого радиуса — например, пылящийся на полке CD-диск или круглая чашка. Чем больше объект и чем более он круглый, тем лучше.

Как известно, π — отношение длины к диаметру окружности. Оберните круглый предмет ниткой по внешнему контуру. Измерьте длину нити, которая потребовалась на полный оборот. Затем с помощью линейки оцените диаметр окружности — самую широкую ее часть. Поделите длину окружности на диаметр: получится число π. Не расстраивайтесь, если уже во втором знаке после запятой оно разойдется с табличным значением, — точность определяется погрешностью линейки, точностью определения длины и радиуса окружности и «круглостью» выбранного предмета. Кстати, взяв объект побольше, вы получите шанс поднять точность вычисленного вами числа π.

1. Число π в круге

Здесь начинаются небольшие хитрости.

Этот метод основан на формуле площади круга, S = πr². Возможно, так число π определяли в древнем Египте. Возьмите несколько (чем больше, тем лучше) одинаковых шариков или монет и сложите из них максимально плотный  и плоский круг. Важно, чтобы шарики не раскатывались, используйте максимально гладкую и горизонтальную поверхность. Если вы используете монеты — проверьте, чтобы они касались друг друга, но не накладывались. Посчитайте, сколько шариков или монет лежит вдоль диаметра круга. Разделите его пополам — получится радиус круга в шариках. Потом возьмите общее количество предметов, из которых состоит круг, и поделите его на квадрат радиуса — результат окажется близок к числу π.

2. Число π в маятнике

Этот метод потребует настоящего физического эксперимента.

Вам потребуется секундомер (например, в смартфоне), длинная нить, небольшой, но тяжелый шарик, который можно над ней подвесить, и точка подвеса — нечто, неподвижно закрепленное на потолке. Измерьте расстояние между точкой подвеса и шариком на нити (точнее, его центром тяжести). Затем отклоните шарик (не слишком сильно) и измерьте время, за которое он сделает полный цикл колебания вперед и назад. Удобнее и точнее всего будет измерить время, за которое маятник сделает несколько колебаний, а потом просто поделить результат на число колебаний.

Теперь получившееся число (в секундах) поделите на два и на корень из длины маятника (в метрах) и умножьте на корень из ускорения свободного падения (ускорение равно 9,8 м/с²). К примеру, если ваш маятник имеет длину один метр, то период колебаний составит примерно две секунды.

Конечно, этот результат немного отличается от табличного значения числа π. Источники ошибки: погрешности измерения длины маятника, периода колебаний, ускорения свободного падения, отсутствие учета сопротивления воздуха. Для соответствия духу научного эксперимента рекомендуем повторить эксперимент несколько раз и с разными длинами маятников. Следует напомнить, что «школьная» формула для периода колебаний работает только для небольших отклонений (несколько градусов). Если вы хотите использовать маятник с большой амплитудой, то придется учитывать угол отклонения.

3. Число π в падающих иглах

Теория вероятностей предлагает более хитрый способ вычисления числа π, отлично помогающий убить время. Вам понадобятся чистый лист бумаги (побольше), иголка или спичка с отрезанной головкой и много свободного времени. Предварительно начертите на листе параллельные линии на равном расстоянии друг от друга. Обратите внимание, что это расстояние должно быть больше, чем длина спички или иголки.

Теперь приступайте к эксперименту. Бросайте спичку или иглу на лист и отмечайте, пересекла или коснулась она линии или нет. Повторите хотя бы сто таких бросков. Теперь, собрав статистику, вычислите число π по формуле:

Чем больше таких бросков вы сделаете, тем больше у вас шансов получить более точное значение числа π. В основе этого метода лежит задача Буффона об игле. Она формулируется так: какова вероятность того, что при падении на пол игла пересечет линию на паркете? Ее решение приводит Пьер-Симон Лаплас в своей книге «Аналитическая теория вероятностей» (1812 год). Кратко с решением задачи можно ознакомиться здесь.

Одним из первых, кто приспособил решение Лапласа к расчету значения числа π, был некий капитан Фокс. Получив ранение, он, вероятно от скуки, решил развлечь себя математикой. Капитан провел три серии экспериментов по 500–590 бросков каждый. Он же понял, что на точность расчетов влияет положение руки относительно линий паркета. Исправить погрешность удалось, поместив плашки паркета на вращающуюся деревянную подставку. После этого ошибка в расчетах снизилась на два порядка — с нескольких процентов до нескольких сотых процента. Об опытах капитана Фокса в 1872 году рассказал журнал The Messenger of Mathematics.

4. Число π в выстрелах дробовика

Если вы не любитель подолгу кидать иголки на бумагу, то теория вероятности может предложить вам еще один необычный способ вычисления числа π. Вам потребуется дробовик и квадратный лист алюминиевой фольги в роли мишени.

Расположите лист в 20 метрах от себя — его размер должен быть чуть меньше разброса дроби вашего ружья. Не забудьте о мерах предосторожности. Цельтесь в центр, стреляйте. Повторите процедуру несколько десятков раз. Затем прочертите на мишени дугу окружности с центром в углу квадрата и радиусом — стороной квадрата. Посчитайте, сколько отверстий от дроби оказалось слева от дуги,  внутри сектора круга, а сколько справа. Поделите первое число на общее число отметин от дроби и умножьте на четыре.

В основе этого и предыдущего расчетов лежит метод Монте Карло. Площадь сектора круга, вписанного в квадрат со стороной 1, составляет π/4. Соответственно, если случайная величина равномерно распределена по этому квадрату, то вероятность ее попадания в сектор как раз и равна π/4. Чем больше случайных попаданий дробин в квадрат мы берем, тем точнее оказывается оценка вероятности (однако предсказать эту точность наверняка нельзя).

Стоит отметить, что распределение отметин от дробин по листу не совсем равномерное. Математики из Монреаля, предложившие такой метод расчета, отмечают, что на распределение дробин влияют ветер и многие другие параметры. Поэтому ученые ввели выборку по значимости и скорректировали распределение до равномерного. Таким образом авторы получили значение числа π 3,131 — на треть процента меньше табличного. Для этого потребовалось 200 выстрелов из дробовика Mossberg 500, оставивших 30857 отметин.

Вместо дробовика можно взять просто пачку риса и рассыпать зерна по квадрату, начерченному на земле. Но с дробовиком будет наверняка интереснее. Авторы отмечают, что этот метод вполне может помочь сохранить знания человечества во время зомби-апокалипсиса. А рис пригодится для пропитания.

5. Число π в реках

На удивление, этот способ расчета числа π не потребует ни ружья, ни экспедиции в Сибирь. Вам потребуются лишь яндекс- или гугл-карты и время.

Найдите на карте (лучше, на сравнительно равнинном участке) небольшую реку. Используйте спутниковые снимки. Определите исток и устье реки, измерьте между ними расстояние по прямой (для этого в сервисах есть специальная линейка). Затем, с помощью того же инструмента, пройдитесь по всему течению реки от истока до устья и определите ее длину — с учетом всех изгибов. То же самое можно сделать, воспользовавшись данными «Википедии». Поделите длину реки на расстояние от устья до истока по прямой. Вы получите извилистость реки, и, согласно статье в Science 1996 года, она в среднем будет довольно близка к значению числа π.

Этот результат впервые получил Ханс Хенрик Стёлум из Университета Кембриджа. На экспериментальной выборке рек математик получил значения извилистости от 2,7 до 3,5. Затем ученый попытался смоделировать хаотическое поведение реки, представив ее как совокупность поворотов по дугам окружностей. В результате Стёлум получил среднюю извилистость, равную числу π.

Несколько лет назад Алекс Беллос, корреспондент The Guardian, попытался проверить этот факт. На выборке из 258 рек средняя извилистость оказалась всего около 1,91. Беллос связывает это с возможными природными ограничениями, которые не учитывает математическая модель.

В действительности число π можно обнаружить и в других физических явлениях вокруг нас. Например, π входит в уравнения Эйнштейна для общей теории относительности и в закон Стокса, описывающий шарик в потоке жидкости. А в 2015 году физики сообщили о том, что неожиданно нашли число π при теоретических расчетах энергий электрона в атоме.

Владимир Королёв