Сумма трех кубов
Мнение редакции может не совпадать с мнением автора
В теории чисел довольно часто возникают задачи, которые легко поймет даже семиклассник, однако их решения требуют огромного количества усилий со стороны математиков. Взять, скажем, диофантовы уравнения. По сути, это обычные уравнения, решением которых является набор целых чисел. Школьник понимает, что такое целые числа, и вполне может попытаться решить такую задачу. Но внешняя простота формулировки диофантовых уравнений обманчива. В этом легко убедится каждый, кто дочитает наш текст до конца и сам попробует решить необычное диофантово уравнение. Почему необычное? Потому что сперва вам придется найти его условия в видеоролике от партнера этого блога — сервиса Яндекс.карты. Если вы справитесь, то получите ключ к... Словом, увидите.
Рассмотрим для примера уравнение x2 + y2 = z2. Это теорема Пифагора, а все целые тройки, удовлетворяющие этому уравнению, называются пифагоровыми тройками. Одна из таких троек хорошо известна — это 3, 4 и 5. Удивительно, но все пифагоровы тройки можно параметризовать тройками натуральных чисел m, n (с условием m > n) и k. Тогда тройка задается формулами k(m2 − n2), 2kmn, k(m2 + n2).
Если при этом написать, казалось бы, похожее уравнение x4 + y4 = z4, то у него уже не будет решений. Это утверждение впервые высказал Пьер Ферма. Он сформулировал общую гипотезу: для n > 2 уравнение xn + yn = zn не имеет решений в целых числах. На доказательство этой теоремы ушли сотни лет.
Главное свойство этих задач состоит в том, что они служат своего рода триггером прогресса — решая их, математики разрабатывают методы, которые потом оказываются полезны в совершенно разных областях человеческого знания. Одна из таких задач — представление числа в виде суммы кубов трех чисел. Эта задача является довольно популярным инструментом для обкатки численных методов. Она формулируется так: для данного k найти целые числа x, y, z такие, что x3 + y3 + z3 = k.
Относительно этой задачи существует гипотеза: если при делении k на 9 в остатке получается не 4 или 5, то решение есть и, более того, количество троек решений для таких k бесконечно. Совсем недавно на N + 1 была новость, что эту задачу удалось решить для k = 33. Решение, которое удалось найти, оказалось довольно чудовищного размера:
33 = 8 866 128 975 287 5283 + (−8 778 405 442 862 239)3 + (−2 736 111 468 807 040)3
Совместно с Яндекс.картами мы предлагаем читателям поучаствовать в следующей игре: в рекламном ролике, расположенном ниже, встречается уравнение x3 + y3 + z3 = k. Вам необходимо найти его и узнать, что за k стоит в правой части.
Вам надо решить это уравнение, и любое из трех найденных решений подойдет в качестве ключа здесь. Дерзайте!