Математик сложил число 33 из тройки кубов
Эндрю Букер, математик из Университета Бристоля, нашел решение диофантова уравнения x3+y3+z3 = k для k = 33. Гипотеза о том, что любое натуральное число, которое при делении на девять не дает остаток 4 или 5, можно представить в виде суммы кубов трех целых чисел была сформулирована несколько десятилетий назад. Начиная с 1954 года ученым удалось найти тройки кубов для всех таких чисел меньших ста, кроме двух: 33 и 42. Решение для k=33 укрепляет эту гипотезу. Препринт статьи опубликован на сайте arxiv.org, кратко о нем сообщает Quanta Magazine.
Уравнения в целых числах, или диофантовы уравнения – особый способ исследовать целые числа и их свойства. Пожалуй, самым известным примером таких уравнений является Великая теорема Ферма: xn+yn = zn для n>2. Кроме развития теории чисел поиск решений диофантовых уравнений приводит к развитию новых методов в математике, которые потом находят применение и в повседневной жизни. Например, эллиптические кривые, позволившие в конечном итоге доказать теорему Ферма, активно применяются в современной криптографии, на них даже основан один из российских ГОСТов.
С самыми простыми примерами диофантовых уравнений мы встречаемся, когда пытаемся расплатиться за покупки без сдачи – к примеру, имея монеты в 2 и 5 рублей можно набрать 19 рублей всего двумя способами – взяв две монеты по два рубля и три по пять рублей или семь монет по два рубля и одну по пять рублей. А фактически мы решаем в натуральных числах уравнение 19 = 2x + 5y.
Представление натуральных чисел в виде суммы кубов целых чисел – гораздо более сложная и интересная задача из области диофантовых уравнений. Очень необычным кажется тот факт, что для многих чисел, например, k = 29, решения уравнения выглядят тривиально: x3+y3+z3 = 29 имеет решение при x=3, y=z=1. Но уже для k=30 решение достигается лишь при x = 3 982 933 876 681, y = -636 600 549 515 и z = -3 977 505 554 546, а для k=31 и 32 решения и вовсе нет, как и для всех k дающих в остатке 4 или 5 при делении на 9. Это связано с тем, что кубы целых чисел могут давать в остатке при делении на 9 только 0, 1 и 8. Для уравнения x3+y3+z3 = 33 решений не было известно вплоть до значений x, y и z меньших 100 триллионов.
Эндрю Букер вдохновился роликом блогера Numberphile, и попытался решить задачу о числе 33. Для этого математик разработал алгоритм, который позволяет очень эффективно перебирать значения переменных. В его основе лежит тот факт, что если перенести один из кубов в левую часть уравнения, то обе части будут обязаны делиться на (x+y):
x3+y3+z3 = 33
x3+y3 = 33 - z3
(x + y)(x2 – xy + y2) = 33 - z3
Таким образом, можно перебирать только определенные делители для каждого z. В результате 23 процессоро-лет вычислений (около месяца реальной работы суперкомпьютера) Эндрю Букеру удалось найти решение для k = 33. Оно выглядит так:
33 = 8 866 128 975 287 5283 + (−8 778 405 442 862 239)3 + (−2 736 111 468 807 040)3
Интересно, что для k = 42 решения с x,y,z меньшими 10 триллионов найти так и не удалось. Среди других k<1000, для которых решение еще не найдено остались лишь числа 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921, 975. Также нет новых решений для k = 3, помимо тривиальных. Тем не менее существует гипотеза о том, что для каждого подходящего k есть бесконечное количество наборов x, y, z.
Ранее мы рассказывали о доказательстве Великой теоремы Ферма - десять интересных и поучительных историй о ней можно прочесть в материале «Кому поля не жмут»
Владимир Королёв
Математические футболисты оборонялись почти как живые, хотя на штрафные не собирались
Аргентинские физики предложили подход на основе изменяющихся во времени двудольных сетей близости для описания оборонительной тактики футбольных команд. Авторы не только смогли найти приемлемый способ характеризации персональной и зональной опеки, но и на основе данных, собранных с реальных матчей, построили механическую модель футбольной команды, которая сохранила основные статистические особенности обороны своего прототипа, хотя и не смогла воспроизвести штрафные. Исследование опубликовано в Physical Review E. В последние годы спортивные состязания, в особенности футбол, все чаще становятся объектом сбора большого объема данных и их анализа новыми статистическими методами. Исследователям удается извлекать из них все больше полезной информации, что вызывает интерес к этой области со стороны представителей спортивной индустрии. Мы уже рассказывали, как математика и статистика помогает предсказывать успешность пасов, оценивать талант футболистов и отличать опытных игроков от новичков во время тренировки, а недавно руководство одного из клубов решило собирать данные о болельщиках. Одним из самых мощных вычислительных методов в спортивной науке остается сетевой анализ, зарекомендовавший себя и в исследовании других аспектов человеческой деятельности, например, коррупции, работы городских транспортных сетей и даже эволюции мемов. Применительно к футболу этот метод, как правило, основан на построении сети игроков, взаимодействующих друг с другом. Чаще всего ученые рассматривают взаимодействие в рамках одной команды, чтобы количественно охарактеризовать командную работу, однако такой подход не дает оценить иные аспекты футбольного матча, например, эффективность защиты. На решение этой проблемы направили свои усилия аргентинские физики во главе с Андресом Чакомой (Andrés Chacoma) из Национального университета Кордовы. На основе данных, собранных с реальных футбольных матчей, они с помощью сетевого подхода охарактеризовали то, как команды используют тактику опеки. Смоделировав футболистов с помощью системы динамических уравнений, ученые смогли воссоздать основные статистические паттерны, характерные для реальных игроков. Опекой в футболе называют оборонную тактику, связанную с преследованием защитниками и полузащитниками нападающих чужой команды. Преследование выражается в постоянной близости к опекаемому, что можно описать через дистанцию между игроками. Для этого, в свою очередь, необходимо знать координаты всех игроков на поле в любой момент матча. Такие данные были выложены в публичный доступ компанией Metrica Sports. Они были собраны с трех матчей с помощью обработки видеозаписей и обезличены, поэтому неизвестно, о каких командах и играх шла речь. Данные представляли собой информацию о координатах всех 22 игроков с пространственным разрешением 10 сантиметров и частотой 25 кадров в секунду. Для сглаживания шумов, физики усредняли кадры до массива с шагом в одну секунду. Авторы характеризовали динамику матча с помощью временных двудольных сетей близости, то есть таких графов, в которых каждый игрок одной команды связывается лишь с игроками другой команды. При этом связь возникает только тогда, когда расстояния между футболистами меньше некоторого порога. Ученые тщательно исследовали связность и распределения кластеров в таких сетях в зависимости порогового значения, а также то, как эта зависимость меняется со временем. Особый интерес для них представляли события, названные лавинами, когда сеть становится максимально связной, то есть игроки группируются в некоторой точке поля. Такая ситуация возникает как в случае активной опеки, так и во время пробития угловых или во внеигровые моменты. Распределения интенсивности и длительности лавин свидетельствовали об их самоподобном характере, а их параметры можно использовать для количественного описания оборонной тактики. На следующем этапе работы физики описали движения футболистов с помощью второго закона Ньютона. Ускорение каждого игрока определялось аналогом силы вязкости, не дающей ему разгоняться бесконечно, аналогом силы упругости, привязывающей его к точке на поле, определяемой выбранной тренером тактической схемой, а также некоторой силой взаимодействия, зависящей от расстояния до других игроков с соответствующими коэффициентами. Для определения всех свободных параметров модели авторы брали конфигурацию матча в некоторый момент игры и минимизировали разницу между реальными и вычисленными скоростями спустя какое-то время. Чтобы понять, насколько построенная таким способом динамическая модель хорошо воспроизводит статистику близости, физики добавляли в уравнения стохастический шум и запускали симуляцию. Оказалось, что оборона и лавины в виртуальном матче организована примерно по тем же распределениям, что и в реальном матче. Модель не смогла воспроизвести лишь совсем экстремальные лавины, не связанные напрямую с тактической обороной: пробитие штрафных и угловых, а также группировка футболистов вне игры. Подробнее о том, как большие данные и машинное обучение помогают большому спорту, читайте в материале «Победа по расчету».