Чему равна упругость пространства-времени?

Можно ли рассматривать пространство-время как упругую среду, которая деформируется под действием гравитации? А если можно, как определить его упругие свойства, в частности модуль Юнга, отвечающий за энергию упругих деформаций? Американский физик-теоретик Адриан Мелиссинос (Adrian Melissinos) показал, как это можно сделать, и вычислил верхнюю границу для модуля Юнга нашего пространства-времени, полагаясь на данные недавних регистраций гравитационных волн. Оказалось, что она примерно в 10²⁰ раз меньше, чем упругость железа. В этом блоге мы попытаемся разобраться, что на самом деле посчитал ученый.

Прежде чем говорить об упругости пространства, разберемся с упругостью в обычном, общефизическом понимании. Возьмите в руки тонкий резиновый жгут (резинку) и растяните ее в разные стороны — вы почувствуете, как со стороны резинки начинает действовать сила, которая стремится сжать ее обратно. Эта сила называется силой упругости. Теперь отпустите резинку — если вы растягивали ее не слишком сильно, она снова вернется в прежнее состояние, а ее длина и объем примут те же значения, что и до деформации. Такие деформации называют упругими. Если же вы растягивали ее сильнее, чем следовало, после снятия нагрузки резинка восстановит свои формы не полностью и останется частично деформированной. Такие деформации называют пластическими.

В случае упругих деформаций сила и величина удлинения оказываются связаны законом Гука, открытым в конце XVII века английским физиком Робертом Гуком. В простейшем случае продольных деформаций (то есть происходящих в одном направлении, как в случае с резинкой) этот закон утверждает, что напряжение материала прямо пропорционально величине относительного смещения: σ = Y∙ε. Здесь σ — это нормальное напряжение в поперечном сечении (давление F/S), ε — относительная деформация ΔL/L, а Y — коэффициент пропорциональности, который называют модулем Юнга. В случае резинки длиной L и площадью поперечного сечения S этот закон можно переписать и привести к более привычной форме, которой учат на школьных уроках физики: F = k∙ΔL, где коэффициент упругости k = YS/L. Именно в таком виде закон был открыт Робертом Гуком. Тем не менее, форма записи с использованием модуля Юнга более предпочтительна, поскольку позволяет обобщить закон на случай тел произвольной формы.

Разумеется, свести все деформации тела к одним только продольным нельзя. В самом деле, при растяжении резинки меняется не только ее длина, но и толщина, хотя заметить это изменение гораздо сложнее. Поэтому в самом общем случае закон Гука надо записывать в тензорном виде, заменяя напряжение σ на тензор напряжений σ^ij, относительную деформацию ε на тензор деформаций ε^ij, а модуль Юнга Y на симметричный тензор упругих деформаций C^ijkl. Тензор ранга N — это, грубо говоря, матрица, которая содержит 3^N компонент (в трехмерном пространстве) и преобразуется определенным образом при преобразованиях координат. Такая форма позволяет описать не только продольные деформации, но и поперечные (сдвиги, изгибы и кручения).

Наконец, благодаря линейности закона Гука потенциальная энергия, запасенная в объеме деформированного материала, пропорциональна квадрату деформации. В самом деле, работа, которую нужно затратить для растяжения резинки на бесконечно малое расстояние dx, равна произведению силы на смещение: A = F∙dx = Y∙SL∙xdx/L² = Y∙V∙xdx/L², где V — объем резинки, а x = ΔL — величина смещения. Следовательно, при конечном смещении в единице объема материала запасается энергия u = ½Y(ΔL/L)² = ½Yε². Конечно, при учете поперечных деформаций этот закон немного усложняется, однако мы не будем вдаваться в такие подробности.

Однако причем тут пространство-время? Дело в том, что под действием гравитации — например, в окрестностях массивной звезды или при прохождении гравитационных волн — обычное, плоское пространство-время тоже немного растягивается и сжимается, будто резинка. Как правило, величина этого растяжения очень мала, однако ее все-таки можно почувствовать, если очень точно измерить расстояние между двумя заданными точками, которое в обычном пространстве-времени оставалось бы неизменным. Представим, что мы выстроили множество массивных шариков вдоль идеально ровной окружности, а потом направили на нее h₊ или h_×-поляризованнную гравитационную волну. Под действием переменной силы тяжести шарики будут немного смещаться, и окружность деформируется в эллипс — так, словно само пространство-время растягивается и сжимается в перпендикулярных направлениях. Заметить такие смещения очень сложно, однако в последнее время ученые все-таки научились их измерять с помощью точных интерферометров, что позволило им зарегистрировать гравитационные волны. Подробнее про эти измерения можно прочитать в нашем материале «Тоньше протона».

Важно, что гравитационные волны переносят определенную энергию, объемная плотность которой пропорциональна квадрату их частоты и — самое важное — квадрату относительного смещения шариков в нашем мысленном эксперименте. Это позволяет провести аналогию между гравитационными и упругими деформациями и найти «модуль упругости» нашего пространства-времени. Сравнивая выражение для энергии гравитационной волны (которое приводится в стандартных учебниках по теории поля, например, во втором томе Ландау-Лифшица) и выражение для энергии упругих деформаций, то можно получить, что Y = πc²f²/4G. Здесь c — это скорость света, G — гравитационная постоянная Ньютона, а f — частота гравитационных волн. Проще говоря, величина эффективного модуля Юнга пространства-времени тем больше, чем больше частота гравитационной волны, которая через него распространяется.

Тем не менее, не все ученые согласны с такой наивной интерпретацией деформаций пространства-времени, поскольку в ней предполагается, что оно обладает механическими свойствами. В частности, Адриан Мелиссинос также с ней не согласен и предлагает в своей работе альтернативный вывод, основанный на первых принципах. Для этого он рассматривает распространение поляризованной гравитационной волны в однородной среде, заполненной массивной жидкостью, выписывает уравнения движения для малого объема вещества и получает силу смещения, которая действует на него со стороны волны. В результате он получает похожее выражение для модуля Юнга, которое квадратично зависит от частоты волны: Y = (ρ/c²)(2πLf)², где ρ — плотность энергии среды, а L — поперечные размеры рассматриваемого объема. Тем не менее, ученый отмечает, что подобные рассуждения применимы только тогда, когда длина гравитационных волн много больше поперечных размеров объема — в противном случае говорить о какой-то конкретной силе, которая на него действует, просто некорректно. Это значит, что в действительности модуль Юнга пространства-времени не зависит от частоты гравитационной волны и много меньше плотности вещества, в которой она распространяется: Y ≪ ρ. При плотности космического пространства ρ_m ~ 10⁻²⁹ грамм на сантиметр кубический это дает ограничение порядка Y ~ 10⁻⁹ паскаль, что в 10¹⁴ раз меньше модуля упругости желе и в 10²⁰ раз меньше модуля упругости железа. При этом точное значение коэффициента Y вывести теоретически из первых принципов нельзя.

С другой стороны, коэффициент упругости можно оценить по затуханию гравитационных волн, которые доходят до нас от далеких объектов. Грубо говоря, волны теряют энергию, когда раскачивают частицы среды, поскольку обратным излучением волн во время таких колебаний можно пренебречь. Учитывая результаты измерений энергии гравитационных волн группами LIGO/Virgo, Мелиссинос вычислил такое ограничение и получил, что Y < a(c²f²/G), где коэффициент a ~ 10⁻¹⁷. Это противоречит стандартному значению, полученному из сравнения энергии волн с энергией упругих колебаний, поскольку в нем получается a ~ 1, однако согласуется с новым ограничением, выведенным теоретиком.

Стоит отметить, что этот результат следует воспринимать как интересную аналогию, которая в будущем позволит лучше разобраться со свойствами пространства-времени. Это ни в коем случае не означает, что пространство-время заполнено упругой средой, по которой распространяются гравитационные волны. В действительности гравитационные волны представляют собой колебания метрики и следуют из уравнений общей теории относительности, и их существование выражается не только в искажении расстояний (то есть в смещении шариков нашем мысленном эксперименте), но и в искривлении лучей света и замедлении времени, которые в рамках этой аналогии объяснить нельзя.