«Машина Рамануджана» нашла новые разложения чисел e и π в бесконечные дроби

Ученые создали программу, которая самостоятельно находит представления математических констант, таких как e и π, в виде бесконечных цепных дробей. Сгенерированные выражения напоминают формулы, полученные математиком начала XX века Рамануджаном. Алгоритм получил название «Машина Рамануджана», а способ нахождения выражений представляет собой новый подход, напоминающий скорее интуицию математиков, чем логику формальных доказательств, пишут авторы в препринте на сервере arXiv.org.

Известный математик индийского происхождения Шриниваса Рамануджан был известен неортодоксальным подходом к поиску новых результатов. Вместо последовательного рассуждения он интуитивно получал сразу конечное выражение, не утруждая себя доказательством. Многие выведенные им формулы были доказаны другими математиками много позднее. Впрочем, некоторые результаты оказались неверными.

В частности, Рамануджан является автором множества выражений с цепными дробями, радикалами и бесконечными рядами. В такие формулы входят только целые числа и математические константы, но их доказательство зачастую оказывается исключительно сложным и нетривиальным. Среди полученных им выражений встречаются формулы, в которые одновременно входят числа e и π, а также разложения этих чисел с использованием алгебраических операций и целых чисел.

В работе сотрудников Израильского технологического института и Тель-Авивского отделения компании Google представлен компьютерный алгоритм, который может в автоматическом режиме генерировать подобные выражения. В рамках первой демонстрации работы ученые показали разложения для известных констант, таких как e, π и значения дзета-функции Римана. Программа нашла десятки представлений в виде цепных дробей, среди которых оказались как известные ранее, так и новые.

С технической точки зрения «Машина Рамануджана» представляет собой программу распределенных вычислений, которая итеративным образом находит выражения с цепными дробями, комбинируя алгоритмы встречи в середине и градиентного спуска. Оба алгоритма работают путем постепенного подбора все более точного численного значения, поэтому в результате получают лишь недоказанные формулы-гипотезы, истинность которых необходимо строго подтверждать другими методами.

Исследователи запустили специальный сайт, на котором предлагают всем желающим присоединиться к их работе. Сотрудничать с математиками можно в трех направлениях: предоставить процессорное время собственного компьютера для поиска новых выражений, предложить формальное доказательство одной из уже найденных формул или придумать новые алгоритмы для их поиска, в том числе применимых для новых математических структур и констант.

Ученые отмечают, что для многих математических констант подобные выражения немногочисленны и открывались лишь случайно, поэтому подобный систематический подход может помочь прийти к новым фундаментальным результатам. Для некоторых констант подобных представлений не известно вовсе. Некоторые найденные программой формулы уже были доказаны другими математиками.

Математики часто называют формулы «красивыми», а мы предлагали читателям самостоятельно оценить качества многих известных выражений в материале «От красавиц до чудовищ». Также мы писали о том, что числа такси из легенды про Рамануджана и его научного руководителя в Кембридже Харди связали с современной наукой.

Тимур Кешелава