От красавиц до чудовищ
Читатели смотрят на формулы и выбирают самую красивую
Некоторое время назад у издателя N + 1 возник спор о математической красоте. Можно ли назвать математику красивой? И если да, то насколько красота математических построений отличается от красоты более привычных нам явлений? Воспринимает ли мозг математика эту красоту так же, как красоту изящной скульптуры или живописного заката? Оказалось, что еще в 2014 году нейробиологи изучили этот вопрос. Выборка у них была небольшая — всего 15 математиков, поэтому всерьез делать выводы о математической красоте на ее основе нельзя (да и сами условия эксперимента потом сильно критиковали). Однако это прекрасный повод посмотреть, какие формулы участники этого исследования назвали красивыми, обычными или некрасивыми. Мы отобрали 10 формул, чтобы наши читатели сами могли решить, какая из них кажется им наиболее совершенной. У вас, кстати, есть возможность проголосовать за любую десяти, но только за одну. Выбирайте мудро!
Тождество Эйлера испытуемые чаще других называли самым красивым. Причин для этого может быть несколько. Возможно, дело в том, что здесь встретились сразу три важные константы: π, e и i.
Основное тригонометрическое тождество является простой переформулировкой теоремы Пифагора. Его тоже испытуемые довольно часто называли красивым.
Формула Эйлера в исследовании проиграла тождеству Эйлера, хотя последнее является частным случаем формулы для x = π. Тем не менее, ее тоже часто называли красивой. Кстати, почти все красивые формулы имеют отношение к условному курсу школьной математики.
Условия Коши-Римана — это система дифференциальных уравнений на функции u(x, y) и v(x, y), которая гарантирует, что комплекснозначная функция u(x, y) + iv(x, y) является комплексно-аналитической. Система обладает рядом нетривиальных свойств, которые позволяют объяснить многие удивительные свойства комплексно-аналитических функций. При всей ее значимости для математики, испытуемые оценили эту систему как обычную.
Еще одна формула, в которой испытуемые не увидели ничего особенного, это эйлерова характеристика сферы. У нее есть несколько интерпретаций. Одна из них такова: если на сфере нарисовать несколько точек, соединить их непересекающимися линиями, а потом посчитать количество вершин (V), количество ребер (E) и количество кусков, на которые разбилась сфера (F), то, независимо от рисунка, окажется выполнено это равенство.
Формула Гаусса-Бонне, пожалуй, одна из самых сложных в нашем списке. Она работает для двумерных поверхностей и говорит, что сумма интегралов по поверхности от гауссовой кривизны и интеграла по границе от геодезической кривизны не зависят от конкретной реализации поверхности, а определяются ее топологическим типом — эйлеровой характеристикой. Так, для сферы это означает, что интеграл от кривизны по сфере всегда равен 4π. Если мы шевелим сферу, мнем ее, то локально гауссова кривизна меняется. Но при этом интеграл остается неизменным. Несмотря на эти удивительные свойства, формулу тоже зачислили в обычные.
А вот это самая сложная формула в нашем списке. В линейной алгебре есть утверждение о том, что самосопряженный оператор на конечномерном пространстве для эрмитова скалярного произведения можно привести к диагональному виду. Представленная выше формула — по сути обобщение этого результата на случай ограниченных операторов на гильбертовом пространстве. Тех самых операторов, которые являются основой квантовой механики. Неудивительно, что и она показалась участникам исследования обычной.
1729 — минимальное число такси. Свое название эти числа получили благодаря истории, которую британский математик Годфри Харди рассказывал про Сриниваса Рамануджана:
«Я помню, пришел раз навестить его, когда Рамануджан лежал в больнице в Питни. Я приехал на такси с номером 1729 и заметил в разговоре, что число скучное, но это, сказал я, надеюсь, не является неблагоприятным знаком. «Нет, — ответил Рамануджан, — число очень интересное, это наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы кубов двумя различными способами!»
Соответственно, числами такси называются числа, которые можно представить в виде суммы двух кубов как минимум двумя разными способами. Количество таких чисел бесконечно.
Это формулу испытуемые отнесли к разряду некрасивых.
Эта формула — пример важной в алгебре концепции короткой точной последовательности. Здесь целые числа отображаются в целые числа с помощью умножения на два, а после этого все целые числа факторизуются по четным. В этой схеме образ одного отображения — вложения целых в виде четных — совпадает с ядром другого отображения — фактора по четным. И эту формулу испытуемые назвали некрасивой.
И, наконец, формула для числа π, открытая Сринивасом Рамануджаном в 1914 году. Главное свойство этой формулы — быстрая сходимость. Ее испытуемые назвали самой некрасивой из всех.
Андрей Коняев
Она проходит в Японии
Российские школьники выиграли пять золотых и одну серебряную медаль на 64 Международной математической олимпиаде (IMO-2023), которая проходит со 2 по 13 июля в японском городе Тиба. Об этом N + 1 сообщил руководитель команды Кирилл Сухов — преподаватель петербургского Президентского физико-математического лицея (ФМЛ) № 239. Золотых медалей удостоились Александр Гнусов из Кирова (37 баллов), Алиса Волкова из Санкт-Петербурга (37 баллов), Ратибор Коптилин из Новосибирска (36 баллов), Роман Кузнецов из Санкт-Петербурга (36 баллов) и Эльдар Хисамутдинов из Санкт-Петербурга (35 баллов). Серебряную медаль получил Павел Прозоров из Санкт-Петербурга (28 баллов). Из-за международных санкций организаторы олимпиады еще в прошлом году отстранили Россию от участия в ней, но разрешили россиянам состязаться в качестве частных лиц. Если бы российских участников допустили в качестве команды, то в ее активе было бы 209 баллов, что соответствует четвертому месту — после сборных Китая, США и Южной Кореи. Следует отметить, что в предыдущие годы россияне также добивались больших успехов на Международной математической олимпиаде. В 2022 году они завоевали три золотых и три серебряных медали, а в 2021 году — пять золотых и одну серебряную медаль.