Числа такси из легенды про Рамануджана связали с современной наукой

Британские математики связали знаменитую формулу Рамануджана для чисел такси с современными математическими объектами, так называемыми К3-поверхностями. Препринт статьи доступен на arXiv.org.

В математическом фольклоре есть следующая легенда. Однажды Годфри Харди приехал навестить в больнице Сриниваса Рамануджана. Харди приехал на такси с номером 1729 и по ходу беседы с Рамануджаном заметил, что, мол, удивительно скучное число ему попалось в качестве номера. На это индиец ответил, что это не правда - 1729 является минимальным натуральным числом, представимым в виде суммы кубов двух натуральных чисел двумя разными способами. Действительно,

1729 = 1+ 12= 9+ 103.

Обычно эту легенду рассказывают в качестве доказательства утверждения Харди о том, что каждое натуральное число было другом Рамануджана (то есть индиец держал в голове множество странных фактов о числах). Сравнительно недавнее изучение записей индийского математика, однако, показало, что он довольно плотно в конце своей жизни изучал диафантово уравнение  a+ b3 = c3 + d3. То есть число 1729 входило в сферу научных интересов Рамануджана.

В своих неопубликованных работах Сринивасу Рамануджану удалось получить параметризацию подмножества решений этого уравнения, которая позволила получать бесконечное число чисел с тем же свойством, что и 1729. В новой работе авторы рассмотрели сумму кубов как эллиптическую кривую с некоторым параметром.

Как оказалось, такой подход позволяет связать параметризацию, полученную Рамануджанам с К3 поверхностями. Это особый класс алгебраических проективных поверхностей. Грубо говоря, эти поверхности задаются однородными полиномиальными уравнениями на подходящем пространстве. При этом пространства, о которых идет речь, это не привычные пространства над полем действительных чисел, а пространства над полем рациональных чисел. В частности, оказалось, что Рамануджан, сам того не подозревая, открыл довольно интересный класс таких поверхностей.

K3 поверхности используются в настоящее время в теории чисел, алгебраической геометрии и физике, при анализе разного рода топологических эффектов.

Андрей Коняев

Нашли опечатку? Выделите фрагмент и нажмите Ctrl+Enter.