Математик доказал невозможность спрятаться за зеркалами полностью

Чтобы спрятать тело, можно окружить его зеркальными поверхностями, однако полной невидимости таким образом достичь не удастся. Российский математик из Института проблем передачи информации ввел «индекс видимости» тела в такой системе и получил для него оценку снизу, оказавшуюся отличной от нуля. Работа опубликована в журнале Proceedings of the Royal Society A.

Ученые активно работают над проблемой невидимости, особенную популярность за последнее десятилетие приобрели разработки с использованием метаматериалов. Однако существуют и другие подходы. Например, Леонардт описал интересную математическую конструкцию, позволяющую сделать тело невидимым в двумерном случае. Он предлагал добиться невидимости, окружая тело линзой (прозрачным материалом с изменяющимся показателем преломления). 

Обычные зеркала намного проще в изготовлении и использовании, чем гипотетические метаматериалы или линзы с переменным коэффициентом преломления, поэтому интересно, нельзя ли спрятать объекты с их помощью. Оказывается, в трех измерениях существуют системы, которые невидимы в трех направлениях, а для двух измерений можно сконструировать зеркальное тело, которое будет невидимым в n направлениях, где n произвольно.

Тем не менее, существуют ограничения на возможность создания системы зеркал, полностью скрывающей тело. В частности, доказано, что не существует идеально невидимой (perfectly invisible) системы, то есть такой, которая будет невидима из любой точки, находящейся вне нее. Более того, предполагается, что число таких точек имеет меру ноль.

Таким образом, в реальности полной невидимости обычно сложно добиться. В таких случаях хотелось бы обеспечить хотя бы частичную невидимость (маскировку), которая не делает обнаружение объекта полностью невозможным, но сильно его осложняет. Чтобы исследовать эту задачу математически, необходимо строго определить индекс видимости, показывающий, насколько эффективно мы спрятали тело. Автор новой работы, российский математик Александр Плахов, вводит такой индекс и исследует его свойства.

В статье автор пользуется следующими предположениями. Он рассматривает тело D с кусочно-гладкой отражающей поверхностью, помещенное в Евклидово пространство с размерностью d ≥ 2. Все лучи испускаются и регистрируются на сфере радиуса R, окружающей заданное тело. Отражение происходит по законам геометрической оптики, то есть систему можно рассматривать как биллиард в ℝ^d\D.

Индекс видимости математик определяет как интеграл по различным траекториям лучей, падающих на тело (с учетом их направления и начальной точки на сфере), от некоторой функции f, зависящей от угла отклонения луча. Функция эта должна быть монотонно возрастающей на отрезке [0; π] и равняться нулю в нуле, а в остальном выбирается произвольно. Важно, что определенный таким образом индекс зависит от радиуса окружающей сферы R. Кроме того, тело является полностью невидимым тогда и только тогда, когда индекс равняется нулю для всех радиусов R.

Сначала автор доказал теорему, утверждающую, что для тела, помещающегося в шар радиуса r (само собой, r ≤ R), можно получить оценку снизу на индекс видимости. Эта оценка зависит от отношения объема тела к степени радиуса r^d (будем называть это для удобства относительным объемом), в общем случае зависимость является степенной. Доказательство проводилось путем последовательной оценки интегралов и преобразованием их к более удобному виду с помощью вращений.

Затем математик рассмотрел частный случай функции f (f = 1 — cosθ) и нашел более строгие оценки для размерностей d = 2, 3. Оказалось, что в обоих случаях нижняя граница индекса видимости пропорциональна второй степени относительного объема. Используя неравенство Юнга (подраздел 2.6 в статье), результаты можно переписать в более удобных терминах диаметра тела.

Ранее мы писали о том, как математики предложили два новых типа так называемых оптимальных биллиардов — систем, в которых законы отражения также играют важную роль.

Дмитрий Трунин