Вавилонская табличка P322 оказалась тригонометрической таблицей

Ученые из Университета Нового Южного Уэльса (Сидней) установили настоящее предназначение 3700-летней вавилонской глиняной таблички, которая оказалась самой древней и самой точной среди древних тригонометрической таблицей в мире. Она почти на тысячу лет старше «таблицы хорд» Гиппарха и использует оригинальный подход к тригонометрии, основанный на точных шестидесятеричных отношениях сторон прямоугольных треугольников, а не на углах и дугах окружности. Статья опубликована в ScienceDirect.

Считается, что Гиппарх (190–120 до нашей эры) был первым математиком, который составил тригонометрическую таблицу и использовал ее в астрономических расчетах. Строго говоря, это таблица длин хорд для окружности длиной в 21600 и радиусом в 3438 единиц, всего были рассчитаны значения для 24 углов с шагом в 7,5 градусов. В дальнейшем Птолемей (100–170 годах) усовершенствовал таблицу, вычислив длины хорд с шагом в ½ градуса и указав интерполяционные методы, с помощью которых можно было найти значения для промежуточных углов. Также в XV веке индийский астроном Мадхава из Сангамаграмы независимо составил тригонометрическую таблицу, пользуясь найденным им разложением синуса в степенной ряд. Изобретение тригонометрии сыграло большую роль в науке, поскольку позволило астрономам разрабатывать количественные модели и делать численные предсказания. 

В то же время, геометрия древнего Вавилона развивалась исходя из практических потребностей администраторов, землемеров и строителей. Из их измерений полей, стен, столбов, зданий, садов и каналов выросло понимание фундаментальных типов практических фигур – квадратов, прямоугольников, трапеций и прямоугольных треугольников. Произвольным треугольникам уделялось мало внимания, и с понятием угла в Вавилоне знакомы были плохо. Отсюда вытекает основанный на измерении отношений сторон фигур подход к геометрии. Вавилонские математики были знакомы с понятием подобия и теоремой Пифагора (известный голландски  математик ХХ века Ван дер Варден считает, что вавилоняне открыли ее между 2000 и 1786 годами до нашей эры). Для вычислений они использовали позиционную шестидесятеричную систему счисления и множество таблиц, с помощью которых перемножали числа, возводили их в степень, находили обратное, квадратный и кубический корень и даже двоичный логарифм числа.
Известная как Плимптон 322 (P322), маленькая глиняная табличка размером 12,7 см на 8,8 см (примерно как паспорт) была обнаружена в начале 1900-х годов в южном Ираке археологом, академиком, дипломатом и торговцем антиквариатом Эдгаром Бэнксом. Сравнивая стиль письма с другими древневавилонскими текстами, Элеанор Робсон датировала ее между 1822 и 1762 годами до нашей эры. Табличка имеет четыре столбца и 15 строк чисел, написанных клинописью, но ее левый край отломан. В четвертом столбце выписаны номера строк, во втором и третьем содержатся два из трех чисел пифагоровой тройки. В первом столбце записаны значения, соответствующие обратному квадрату синуса угла при основании треугольника, которые соотносятся с данной пифагоровой тройкой.

Основываясь на предыдущих исследованиях, ученые представили новые математические доказательства того, что изначально в P322 было шесть столбцов и 38 строк, а сама таблица использовалась для вычисления неизвестной стороны прямоугольного треугольника по двум известным, то есть как тригонометрическая. Сравнивая числа из разных столбцов, исследователи пришли к выводу, что в недостающих двух столбцах содержатся значения β и δ, которые в современных обозначениях равны котангенсу и косекансу угла при основании прямоугольного треугольника соответственно. Данные были рассчитаны для пифагоровых троек, определяющих различные углы. Интересно, что составители P322 выбирали такие треугольники, чтобы все отношения записывались конечной последовательностью цифр в шестидесятеричной системе счисления. Другими словами, все значения, представленные в таблице, абсолютно точны, и это отличает P322 от остальных тригонометрических таблиц. Правда, вавилоняне допустили несколько ошибок при расчете значений или их переписывании, но это ошибки исполнительные, а не идейные.

Исследователи не первыми предполагают в своей работе, что недостающий фрагмент таблицы содержит значения β и δ, но существенно новой является идея о том, что содержимое P322 следует рассматривать как описание третьего отношения β/δ (или δ/β). Из-за приверженности вавилонян к точности оно было заменено тремя колонками, чтобы обойтись без приближений. Квадраты в первой колонке – это индексы, указывающие на уменьшение угла при основании треугольника, а значения из третьей и четвертой равны β и δ с отброшенным общим множителем и нужны для упрощения вычислений.

Ранее считалось, что P322 помогала учителю проверять решения квадратных уравнений, которые задавались студентам – например, найти такое x, что (x – 1/x) = 7. Однако эта таблица могла также служить мощным инструментом для выполнения точных архитектурных расчетов или разметки полей. Как показал американский математик, обладатель премии Тьюринга Дональд Кнут, вавилоняне умели интерполировать из таблицы промежуточные значения, но даже без интерполяции она дает лучшие результаты вычислений, чем некоторые более поздние таблицы. Например, в данной статье авторы сравнили таблицу Мадхавы и P322, которая почти на 3000 лет древнее, решив с их помощью нескольких задач на треугольники. Во всех случаях ответы, полученные с помощью вавилонской таблицы, были ближе к истинному значению.

P322 исторически значима потому, что является не только древнейшей, но также и единственной абсолютно точной тригонометрической таблицей. Иррациональные числа и их приближения кажутся нам необходимыми в классической геометрии, но P322 показывает, что в тригонометрии можно обойтись без них. Как замечают авторы работы, если бы история сложилась по-другому и глубокое математическое понимание составителя таблички не было утеряно, вполне возможно, что основанная на отношениях тригонометрия развилась бы вместо привычной нам науки, оперирующей с углами.

Ранее мы писали, что в вавилонских клинописных табличках нашли начала матанализа, с помощью которых древние астрономы рассчитывали движение Юпитера.

Дмитрий Трунин