«Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни»

В основе современных технологий лежат проверенные временем математические концепции. К примеру, машинное обучение использует матрицы и графы, а компьютерная анимация — пространство форм. В книге «Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни» (издательство «Альпина нон-фикшн»), переведенной на русский язык Натальей Лисовой, популяризатор науки Иэн Стюарт рассказывает, как она применяется в политике, юриспруденции, медицине, информационной безопасности, киноиндустрии и других сферах. Предлагаем вам ознакомиться с фрагментом о попытках решить и практическом применении задачи коммивояжера.

Пусть голубь ведет автобус

Водителя автобуса может беспокоить, что голубь не способен безопасно вести автобус. Еще больше его может беспокоить то, что голубь не сумеет выбрать маршрут, позволяющий подобрать всех пассажиров на остановках города.

Бретт Гибсон, Мэттью Уилкинсон и Дебби Келли. Animal cognition

Мо Виллемс рисовал забавные картинки с трехлетнего возраста. Опасаясь, что взрослые могут хвалить его не от чистого сердца, он начал писать смешные истории. Ему казалось, что фальшивый смех легче распознать. В 1993 году он присоединился к команде сценаристов и мультипликаторов классической «Улицы Сезам», что принесло ему за 10 лет шесть премий «Эмми». Главным героем его детского мультсериала «Баран в большом городе» стал баран по имени Баран, чья идиллическая жизнь на ферме рушится, когда тайная военная организация начинает гоняться за ним и ловить для создания лучевой пушки на бараньей силе. Первым опытом Виллемса в жанре детской книги стала книжка «Не позволяйте голубю вести автобус!», продолжавшая тему животных. Мультфильм по этой книге принес автору медаль Карнеги, а сама книга — премию Калдекотта, которую получают те, кто попадает в шорт-лист претендентов на медаль Калдекотта. Главный герой книги — голубь — использует все возможное и невозможное, пытаясь убедить читателя, что ему можно доверить управление автобусом, когда обычному водителю внезапно приходится покинуть транспортное средство.

В 2012 году книга Виллемса получила неожиданное научное продолжение — солидную статью в уважаемом журнале Animal Cognition, авторами которой стали заслуживающие доверия исследователи Бретт Гибсон, Мэттью Уилкинсон и Дебби Келли. Они экспериментально доказали, что голуби способны находить решения, близкие к оптимальным, для простых случаев известной математической диковинки — задачи коммивояжера. Их статья называлась «Позвольте голубю вести автобус: голуби способны планировать маршруты в помещении».

И пусть никто не говорит, что у ученых нет чувства юмора. Или что остроумные заголовки не помогают добиться популярности.

Задача коммивояжера — не просто любопытная диковинка. Это хороший пример целого класса задач, имеющих громадное практическое значение и известных как задачи комбинаторной оптимизации. У математиков есть привычка формулировать глубокие и значительные вопросы тривиальным на первый взгляд языком. Американские конгрессмены осудили напрасное расходование бюджетных денег на теорию узлов, не понимая, что эта область математики принципиально важна для понимания топологии малых размерностей, которая используется в теории ДНК и квантовой теории. Основные методы топологии включают в себя теорему о причесывании ежика и теорему о бутерброде, так что, я полагаю, мы сами на это напросились, но дело не только в нас. Я не осуждаю тех, кто чего-то не знает, — с каждым случается, — но почему бы этим людям просто не спросить?

Как бы то ни было, та показательная чепуха, которая вдохновила меня на эту главу, берет свое начало в одной полезной книге для — как вы, наверное, уже догадались — коммивояжеров. Тех, что обходили дома и предлагали свой товар. Я еще помню их, даже если вы не помните. Они часто продавали пылесосы. Как любые разумные деловые люди, немецкие коммивояжеры в 1832 году (а в те времена все они, конечно, были мужчинами) очень трепетно относились к эффективности использования своего времени и снижению расходов. К счастью, помощь всегда была под рукой в виде руководства: «Коммивояжер. Каким ему следует быть и что ему следует делать, чтобы получать заказы и быть уверенным в успехе своего дела. Советы старого коммивояжера» (Der Handlungsreisende — wie er sein soll und was er zu thun hat, um Aufträge zu erhalten und eines glücklichen Erfolgs in seinen Geschäften gewiss zu sein — von einem alten Commis-Voyageur). Этот пожилой странствующий торговец указывал, что:

Руководство не предлагало математических принципов решения этой задачи, а приводило примеры пяти предположительно оптимальных маршрутов по Германии (один из них проходил через территорию Швейцарии). Большинство маршрутов содержали подциклы, предусматривавшие посещение одних и тех же мест дважды, что вполне естественно, если вы останавливаетесь на ночь в гостинице, а днем объезжаете окрестности. Но в одном из маршрутов не было повторных визитов. Современное решение этой задачи показывает, что предложенный руководством ответ достаточно хорош, как видно на рисунке.

Задача коммивояжера — а именно такое название она получила — стала первым фундаментальным примером математической области, известной сегодня как комбинаторная оптимизация, что означает «нахождение лучшего варианта среди множества возможностей, слишком большого, чтобы проверять их последовательно». Забавно, но название «задача коммивояжера» не использовалось явно ни в одной публикации на эту тему до 1984 года, хотя в неформальных дискуссиях математиков оно вовсю фигурировало и до этого.

Несмотря на свое приземленное практическое происхождение, задача коммивояжера завела математическое сообщество в реальные глубины, вплоть до одной из «задач тысячелетия» «P ≠ NP?», приз за решение которой размером $1 миллиона до сих пор ожидает своего получателя. В задаче спрашивается в строгой математической форме: если имеется задача, предполагаемый ответ на которую — догадка, если угодно, — может быть эффективно проверен, то может ли этот ответ быть эффективно найден во всех случаях? Большинство математиков и компьютерщиков считают, что ответ должен быть «нет»: безусловно, проверка любой конкретной догадки может быть проведена намного быстрее, чем поиск корректного ответа. В конце концов, если кто-то показывает вам собранный пазл из 500 элементов, то быстрого взгляда, как правило, хватает, чтобы понять, все ли правильно собрано, но собрать весь пазл с самого начала — совершенно другое дело. К несчастью, пазлы не дают нам ответа: это всего лишь удобная метафора, строго говоря, они не имеют отношения к вопросу. Так что сейчас никто не может ни доказать, ни опровергнуть предположение о том, что P отличается от NP, — именно поэтому решение вопроса принесет вам круглую сумму $1 млн. Я вернусь к задаче P ≠ NP позже, а сначала рассмотрим первые успехи в решении задачи коммивояжера.

***

Время коммивояжеров давно прошло. В век интернета компании редко продают свой товар, отправляя путешествовать по городам и весям человека с чемоданом образцов. Они выставляют свои товары в Сети. Но, как обычно (все та же непостижимая эффективность), задача коммивояжера не устарела из-за этих изменений в культуре. Онлайн-продажи растут экспоненциально, потребность в эффективных способах определения маршрутов и графиков приобретает все большее значение для доставки всего, от посылок до пиццы и заказов в супермаркетах. Задачу коммивояжера можно было бы, наверное, переименовать в задачу курьера-доставщика: какой маршрут будет наилучшим для фургончика, доставляющего заказы?

И здесь на сцену выходит переносимость математики. Применение задачи коммивояжера не ограничивается поездками между городами или по улицам большого города. На стене нашей гостиной висит большой квадрат из черной ткани с вышитым на нем из блесток элегантным спиральным узором, основанным на знаменитых числах Фибоначчи. Дизайнер называет этот узор «блестками Фибоначчи». Изготовлен он был при помощи машины под управлением компьютера, способной вышить все что угодно размером вплоть до покрывала на большую кровать. Игла, делающая стежки, прикреплена к стержню, который перемещает ее в продольном направлении, а сам стержень может еще двигаться в поперечном направлении. Сочетание этих двух движений позволяет переместить иглу в любую точку. По чисто практическим причинам (потеря времени, лишняя нагрузка на машину, шум) никто не хочет, чтобы игла скакала туда-сюда по всему полотну, так что суммарное пройденное ею расстояние необходимо минимизировать. Получается задача, очень похожая на задачу коммивояжера. Родословная таких машин восходит к ранней компьютерной графике и к устройству, известному как плоттер, где перо двигалось примерно так же.

Аналогичных вопросов хватает и в естественных науках. Давным-давно видные астрономы имели собственные телескопы или пользовались ими совместно с несколькими коллегами. Эти телескопы можно было без труда направлять на новые небесные тела и таким образом импровизировать. Теперь все не так, ведь телескопы, которыми пользуются астрономы, громадны, невероятно дороги и доступ к ним осуществляется онлайн. Наведение телескопа на новый объект требует времени, а пока агрегат движется, вести наблюдения невозможно. Выстройте цели в неверном порядке, и зря потратите много времени на то, чтобы повернуть телескоп на большой угол, а потом обратно, если хотите наблюдать объект, расположенный рядом с начальной точкой. При секвенировании ДНК фрагментарные последовательности ДНК-оснований необходимо соединять в определенном порядке, и этот порядок нужно оптимизировать, чтобы избежать напрасных трат компьютерного времени.

Среди других применений можно назвать и эффективное прокладывание авиамаршрутов, и разработку и производство компьютерных микрочипов и печатных плат. Приближенные решения задачи коммивояжера используются для нахождения эффективных маршрутов доставки еды нуждающимся (программа Meals on Wheels) и оптимизации доставки крови в больницы. Один из вариантов задачи коммивояжера засветился даже в программе «Звездных войн» или, как ее правильнее называть, в гипотетической Стратегической оборонной инициативе президента США Рональда Рейгана, где мощный лазер, находящийся на околоземной орбите, должен был наводиться на ряд приближающихся ядерных ракет.

***

Карл Менгер, работы которого в настоящее время рассматриваются как предвестники фракталов, пожалуй, первым из математиков написал о задаче коммивояжера, и было это в 1930 году. Он рассматривал эту задачу под совершенно другим углом, поскольку в то время изучал длины кривых с точки зрения чистой математики. В то время длина кривой определялась как наибольшая величина, получаемая путем сложения длин участков любой ее полигональной аппроксимации, вершинами которой является конечное множество точек, проходимых в том же порядке, в каком они лежат на кривой. Менгер доказал, что тот же ответ получится, если заменить аппроксимирующую ломаную линию конечным множеством точек на кривой и найти минимальное суммарное расстояние вдоль любой ломаной с этими вершинами, в каком бы порядке они ни проходились. Связь с задачей коммивояжера здесь в том, что кратчайший путь Менгера — тот, что является решением задачи коммивояжера, если вершины ломаной рассматривать как города. Менгер назвал это «задачей гонца», заявив, что она применима не только к торговцам, но и к почтальонам, и написал:

Эта цитата показывает, что Менгер понимал две ключевые особенности этой задачи. Во-первых, алгоритм нахождения ответа существует. Можно просто рассмотреть все пути по очереди, рассчитать длину каждого и посмотреть, который из них окажется кратчайшим. Полное число возможных маршрутов в точности равно числу перестановок точек, которое конечно. Когда он писал, лучший алгоритм был неизвестен, но все понимали, что перебор всех возможных путей безнадежен, если городов больше дюжины, поскольку маршрутов слишком много. Во-вторых, он видел, что «очевидный» метод — из каждой точки двигаться к ближайшей — обычно не работает. Специалисты называют этот метод эвристическим алгоритмом ближайшего соседа. На рисунке показана одна из причин, по которым он не работает.

Менгер шесть месяцев в 1930 и 1931 годах читал в Гарвардском университете лекции, часть из которых прослушал великий тополог Хасслер Уитни. Годом позже Уитни выступил с лекцией, где высказался о том, как следует подходить к поиску кратчайшего пути по всем 48 (на тот момент) штатам Америки. Некоторое время в математических кругах эту проблему называли «задачей 48 штатов», но потом кто-то придумал более изящное название «задача коммивояжера». В печати оно впервые было упомянуто в 1949 году в докладе Джулии Робинсон.

Менгер продолжал работать над задачей коммивояжера и родственными вопросами. В 1940 году Ласло Фейеш Тот заинтересовался, по существу, этой же задачей: нахождением кратчайшего пути через n точек единичного квадрата. В 1951 году Самюэл Верблунски доказал, что ответ составляет меньше чем 2 + √2 × 8n. Позже математики доказывали, что минимальная длина пути через n точек в фиксированной области не превышает определенной константы, умноженной на квадратный корень из n, причем величина константы с каждым разом все уменьшалась.

В конце 1940-х годов одной из ведущих организаций, занимавшихся исследованием операций, была RAND Corporation в Санта-Монике (штат Калифорния). Исследователи RAND немало сил посвятили решению родственной задачи о перевозках, и Джордж Данцигс Тьяллингом Купмансом высказали предположение, что их работа над тем, что сейчас называется линейным программированием, может иметь значение и для решения задачи коммивояжера. Линейное программирование — эффективный и практичный метод решения многих задач комбинаторной оптимизации. Это метод максимизации линейной комбинации переменных с ограничениями в виде неравенств, утверждающих, что другие их линейные комбинации должны быть положительными или отрицательными. Данциг придумал первый практический алгоритм — симплексный метод, широко используемый до сих пор. Неравенства определяют многомерный выпуклый многогранник, а алгоритм перемещает точку вдоль ребер этого многогранника до тех пор, пока величина, которую мы хотим максимизировать, увеличивается.

Первого по-настоящему значимого успеха в решении задачи коммивояжера добились в 1954 году исследователи RAND Данциг, Делберт Фалкерсон и Селмер Джонсон при помощи метода линейного программирования Данцига. Они адаптировали метод к решению именно этой задачи и предложили систематические новые методы, в частности использование «секущих плоскостей». В результате был найден нижний предел длины оптимального маршрута. Если вам удается находить маршрут лишь ненамного длиннее, то вы на правильном пути и внутреннее чутье не обманывает вас. Данциг, Фалкерсон и Джонсон воспользовались этими идеями, чтобы получить первое решение задачи коммивояжера для разумного числа городов, а именно найти кратчайший маршрут через 49 городов: по одному в каждом из 48 штатов США плюс столичный Вашингтон. Это, похоже, та самая задача, которую упоминал Уилкинсон в 1930-е годы, и определенно та самая, о которой писала Джулия Робинсон в 1949 году.

Подробнее читайте:
Стюарт, И. Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни / Иэн Стюарт ; Пер. с англ. [Натальи Лисовой] — М. : Альпина нон-фикшн, 2024. — 392 с.