«АСТ»

Популярное издательство

«Бог создал целые числа. Математические открытия, изменившие историю»: Книга о трудах великих ученых

Нынешний расцвет технологий во многом обеспечили ученые, совершавшие революции в математическом мышлении. Сложно представить современную науку без аналитической геометрии Рене Декарта или концепций вероятности и статистики, впервые предложенных Пьером Симоном Лапласом. В книге «Бог создал целые числа. Математические открытия, изменившие историю», переведенной на русский язык* для издательства «АСТ», Стивен Хокинг описывает важнейшие математические труды в истории европейской научной мысли и рассказывает об их авторах. Предлагаем вам ознакомиться с фрагментом, посвященным жизни и работам француза Огюстена Луи Коши, ответственного за фундамент математического анализа.


Огюстен Луи Коши (1789-1857)

Евклид зарабатывал на жизнь преподаванием. Среди его учеников был Птолемей I, царь Египта. Однажды царь Птолемей попросил своего учителя найти кратчайший путь к геометрическим знаниям, на что Евклид ответил: «Нет царского пути в геометрии». Возможно, царского пути нет в математике вообще и в геометрии в частности. Однако если у кого из математиков и пересекался путь с королевскими особами, то у Огюстена Луи Коши.

Огюстен Луи Коши родился в период зарождения Французской революции, 21 августа 1789 г. Его родители, Луи Франсуа Коши и Мари Мадлен Коши, урожденная Дезестр, назвали его в честь месяца рождения и в честь его отца. Луи Франсуа родился в 1760 г. в семье кузнеца из Руана. Мари Мадлен родилась в семье парижских чиновников в 1767 г. Они поженились в 1787 г.

Луи Франсуа Коши получил образование юриста и служил комиссаром парижской полиции при королевском режиме. Он потерял эту должность в результате штурма Бастилии и был вынужден занять должность в Бюро благотворительности, чтобы хоть как-то зарабатывать на жизнь. Когда в 1792 г. на Париж обрушился террор, Луи Франсуа испугался, что его роялистские связи могут стоить ему жизни, и бежал в загородный дом в Аркейле вместе со своей семьей, в которой недавно произошло прибавление: родился второй сын. Таким было первое бегство Огюстена Луи Коши от политических потрясений.

Вынужденное изгнание Коши в Аркейль, возможно, было трудным временем, но оно имело свои преимущества. Главным среди них, возможно, был тот факт, что их соседями по Аркейлю оказались великие математики Пьер Симон Лаплас и Жозеф Луи Лагранж, последний из которых, как говорят, предсказал гениальность мальчика и предупредил его отца о том, что он должен увидеть математический текст до 17 лет. То ли благодаря собственному классическому образованию, то ли благодаря предостережению Лагранжа Луи Франсуа использовал свободное время в Аркейле, чтобы начать обучение старшего сына, дав ему прочную основу для изучения греческого и латыни. Луи Франсуа продолжил обучение своего сына, когда семья смогла вернуться в Париж в июле 1794 г. после падения Робеспьера и окончания царства террора.

Успех Луи Франсуа рос вместе с успехом Наполеона, и когда Наполеон стал первым консулом 1 января 1800 г., Луи Франсуа был из бран Генеральным секретарем вновь созданного Сената, в состав которого входили Лаплас и Лагранж. По предложению Лагранжа Луи Франсуа записал сына в Высшую школу Пантеона, как только тому исполнилось 13 лет. В школе молодой Коши провел два года, изучая древние языки, рисование и естественную историю. Он преуспел в изучении древних языков, заняв первые места в конкурсах латинской композиции и греческой поэзии. Несмотря на то что Огюстен Луи Коши добился выдающихся успехов в изучении классических языков, он твердо решил изучать инженерное дело в Политехнической школе. В 1805 г. Коши занял второе место среди всех претендентов на поступление в эту школу. Поступив туда осенью, Коши оказался перед выбором сферы государственной службы для работы после окончания школы. Он выбрал гражданское строительство с уклоном в строительство дорог и мостов. Вскоре после начала учебы Коши стал лучшим учеником в классе. Он окончил школу с отличием в 1807 г., а затем поступил на углубленное обучение в Высшую школу дорог и мостов. В этой школе ученики находились с декабря по март и проводили остаток года на полевых работах.

В 1810 г., после того как Коши в очередной раз получил высшее образование и оказался среди лучших учеников, он стал полевым инженером Департамента дорог и мостов в Шербуре, чтобы работать на военно-морской базе, с которой Наполеон планировал начать вторжение в Англию. В письме к отцу Коши писал, что у него было всего четыре книги, когда он уезжал в Шербур: сборник стихов Вергилия, «Подражание Христу» Фомы Кемпийского, «Небесная механика» Лапласа и «Трактат об аналитических функциях» Лагранжа. О пребывании Коши в Шербуре известно немного, кроме того, что он был представлен Наполеону, когда император посетил Шербур в мае 1811 г.

В 1812 г. Коши вернулся в Париж, чтобы получить научное место, которое позволило бы ему иметь доход и время для занятий математикой. Он потерпел неудачу в этой попытке в значительной степени из-за продолжительной болезни и был вынужден удовлетвориться тем, что его назначили в группу технического персонала, строящего канал Урк. Когда его бывший наставник Лагранж умер в 1813 г., Коши пытался избраться на должность Лагранжа на математическом факультете Института Франции. Коши не только не смог победить на выборах на этот пост, но выбыл при первом же голосовании. В течение следующих двух лет Коши искал любую доступную должность в институте, но так и не добился успеха. Наконец, в самом конце 1814 г., он получил некоторое утешение, избравшись в Филоматическое общество в Париже. Три месяца спустя, как раз когда Коши готовился начать преподавание, во Франции снова кипели страсти после возвращения Наполеона в Париж из ссылки на Эльбе.

После реставрации монархии Бурбонов в 1814 г. многие ведущие институты Франции были очищены от радикальных сторонников Наполеона. Коши безуспешно пытался занять кафедру механики, которой руководил Симеон-Дени Пуассон. В конце концов он получил назначение на преподавательский пост в Политехническую школу, сначала в качестве «заместителя» профессора анализа математика Луи Пуансо (которому плохое здоровье не позволяло преподавать целых три года), а затем в качестве полного профессора анализа и механики со всеми правами.

После того как Коши наконец получил постоянную должность, родители уговорили его жениться. На самом деле они не просто уговаривали сына жениться – отец сам выбрал невесту, Алоизу де Бюр, дочь владельца издательства, носящего фамилию этой семьи. Она приехала со значительным приданым, и была устроена свадеб ная церемония, соответствующая их положению в обществе: Людовик XVIII и вся королевская семья подписали брачный контракт.

Все факты говорят о том, что Коши относился к своей жене и дочерям не более чем как к украшениям, которые можно оставить, когда необходимо. Вероятно, он женился только для того, чтобы удовлетворить буржуазные требования своих родителей. У них с Алоиз было две дочери: Мария Франсуаза Алисия, родившаяся в 1819 г., и Мария Матильда, родившаяся в 1823 г. Обе впоследствии вышли замуж за аристократов.

После своего назначения Коши приступил к реорганизации учебного плана по математике в Политехнической школе, уделяя гораздо больше внимания чистой математике. Сначала он сосредоточился на вычислительной математике – предмете, выдержки трудов о котором приводятся в этой главе. Ньютон и Лейбниц изобрели вычислительную математику для решения частных математических задач. Ньютону, например, нужно было уметь решать задачи небесной динамики, связанные с эллипсами и параболами. В XVIII в. развитие математики происходило довольно неопределенным образом. Производная функции рассматривалась как средство выражения формулы для касательной к кривой в определенной точке P.

Интеграл функции рассматривался как бесконечная сумма значений бесконечного числа инфинитизимально тонких прямоугольников, высота которых была значением функции, а ширина – бесконечно малой величиной, обозначаемой dx. Лейбниц ввел обозначение интеграла следующим образом

именно из-за его сходства с буквой S, первой буквой слова «суммирование». До тех пор, пока рассматривались частные примеры хорошо себя ведущих функций, например f(x) = x2, задача определения интеграла функции сводилась к нахождению предела определенного ряда. Для функции f(x) = x2 интеграл считается суммой прямоугольников высоты x2 и ширины dx.

Следовательно, задача нахождения интеграла функции f(x) = x2 от 0 до 1 есть не что иное, как задача нахождения следующего предела:

при N → ∞. Упрощая последнее выражение, получаем

Математики начала XVIII в. вскоре обнаружили, что интеграл и производная обратны друг другу. К середине XVIII в. Леонард Эйлер и Иоганн Бернулли считали интеграл не более чем обратной производной. Фактически Эйлер использовал концепцию Лейбница интеграла как суммирования только при приближенной оценке интеграла. Нахождение формулы для интеграла функции f(x) повлекло за собой поиск другой функции g(x), производная которой везде была бы равна f(x). Таким образом, формула для интеграла функции f(x) = x2 была g(x) = x3/3 просто потому, что f(x) = x2 – производная от g(x) = x3/3.

Таковыми были основы, на которых базировалась вычислительная математика, когда Коши начал преподавать в Политехнической школе в 1818 г. Существовали методы интегрирования функций с хорошим поведением, но самой теории интегрирования не было. Возможно, вдохновленный демонстрацией Фурье, что произвольная функция может быть представлена бесконечным тригонометрическим рядом, Коши разработал первую теорию интеграла, независимую от конкретной функции и независимую от дифференциального исчисления, для которого он также заложил новые основы, независимые от геометрических интуиций. Во введении к своему «Курсу анализа» 1821 г. Коши объяснил, что он стремился привнести в область математического анализа ту же степень строгости, которая присутствовала в «Элементах» Евклида. Он особенно заботился о том, чтобы изгнать бесконечно малые числа, для чего потребовалось новое определение непрерывности. Коши дал следующее определение непрерывности действительной функции одной переменной:

Пусть f(x) есть функция переменной и предположим, что для каждого значения между двумя заданными границами эта функция постоянно принимает одно конечное значение. Если от значения между этими границами приписать переменной бесконечно малое приращение, то сама функция получит в качестве приращения разность

f(x + α) − f(x),

которая будет зависеть одновременно от новой переменной и от значения. При этом функция f(x) будет непрерывной функцией переменной между двумя назначенными границами, если для каждого значения между этими границами числовое значение разности f(x + α) − f(x) будет бесконечно уменьшаться с уменьшением. Другими словами, функция f(x) остается непрерывной относительно между заданными границами, если между этими границами бесконечно малое приращение переменной всегда приводит к бесконечно малому приращению самой функции.

Коши посвятил первую часть своего «Резюме лекций по исчислению бесконечно малых» 1823 г. дифференциальному исчислению, сосредоточившись на производной функции y = f(x). Он взял термин «производная» и ее обозначение f′(x) у своего наставника Лагранжа. Однако Лагранж продолжал говорить о производной вообще в терминах касательной к кривой, находя формулы для частных производных по мере необходимости. Коши вышел далеко за рамки рассуждений Лагранжа и определил производную f по x как предел разностного отношения ∆y/∆x = (f(x + i) − f(x)/i), где i «стремится» к 0 – это и есть наше современное негеометрическое определение производной.

Вторая часть его труда «Исчисление бесконечно малых» сосредоточена на понятии интеграла

функции f(x), непрерывной между a и b. Коши разделил интервал [a,b] на n точек x1,x2, …, xn таким образом, что a < x1 < x2 < ... < xn < b. Он назвал наибольшее значение разности xixi−1 нормой разбиения и рассмотрел следующую сумму:

S = (x1a) f(a) + (x2x1)f(x1) +...+ (xnxn-1)f(xn-1)+(b - xn)f(xn),

которая теперь носит название суммы Коши разбиения. Используя данное им определение непрерывности, Коши показал, что для непрерывной функции f(x) на фиксированном интервале [a, b] суммы S и S' должны быть сколь угодно близки друг к другу при условии, что нормы разбиений P и P' достаточно малы *.

*Здесь P и P' – два различных разбиения отрезка [a, b], а S и S' – соответствующие суммы Коши для этих разбиений.

Это утверждение позволило Коши определить интеграл