Десять признаков плохой математики

Британский математик Майкл Атья на днях представил доказательство знаменитой гипотезы Римана — одной из семи проблем тысячелетия. Математическое сообщество отнеслось к нему скептически, но для окончательных выводов необходимо, чтобы кто-то проверил доказательство и нашел (или не нашел) в нем ошибки. Иногда такая проверка может занимать годы и десятилетия, а учитывая, сколько в мире есть математиков-любителей, которые хотели бы получить миллион долларов от Института Клэя, можно всю жизнь потратить на поиск ошибок. Математик Скотт Ааронсон, профессор Университета Техаса в Остине, составил список из 10 признаков ошибочной математики, который поможет вам избежать этой участи.

Я хотел бы рассмотреть такой вопрос: предположим, некто присылает вам сложное решение знаменитой математической проблемы, которую не могут решить многие десятилетия, например, о равенстве классов сложности P и NP. Как можно не более чем за 10 минут решить, стоит ли читать это решение?

Для блогера вроде меня, от которого ждут мгновенной реакции, которая потом навечно окажется в поисковой выдаче, этот вопрос важен. Ошибусь я в одну сторону — и навечно прослыву закоснелым реакционером, который не опознал Сринивасу Рамануджана Айенгора XXI века. В другую — и потом всю жизнь буду вычитывать работы сумасшедших.

Некоторые люди скажут: «Но если бы все писали свои доказательства в формате, который может проверить компьютер, не было бы этой абсурдной дилеммы!». Само собой, а если бы все пристегивались, было бы меньше серьезных аварий. Но вот он, окровавленный пациент, и вот они мы, в отделении скорой помощи.

Очевидно, личность автора играет некоторую роль в моем решении, тратить ли время на статью. Если Александр Разборов говорит, что доказал суперлинейную нижнюю границу для задачи выполнимости булевых формул, это привлекает наше внимание сильнее, чем если то же самое говорит какой-нибудь Руфус Маклуфус. Но здесь очевиден риск элитизма — поэтому в этом посте я буду говорить только о том, что можно выделить из самого текста.

Вдохновившись чеклистом для проверки альтернативной науки Шона Кэрролла, я составил свои «Десять признаков того, что заявление о прорыве в математике неверно».

1. Авторы не используют TeX. Этот простой тест, предложенный Дэйвом Бэйконом, уже отлавливает как минимум 60 процентов ошибочных математических работ. Единственные известные ложноположительные его результаты — Дэвид Дойч и Лов Гровер.

2. Авторы не понимают вопроса. Возможно, они перепутали проблему NP≠coNP с какой-то задачей по психологии или метафизике. Или они решают проблему Гровера запросами за время O(1), взяв определение квантовых вычислений из журнальной статьи. Я видел и то, и другое.

3. Их подход позволяет сделать более сильный и даже неверный вывод (но авторы это не рассматривают). Они показали, что задача выполнимости булевых формул в k-конъюнктивной нормальной форме при k = 3 требует экспоненциального времени; их доказательство точно так же сработает для k = 2.

4. Их подход противоречит некоторому известному невозможному результату (о чем авторы не упоминают). Четыре месяца, которые я потратил на доказательство нижней границы для проблемы столкновения, пару раз сэкономили мне много времени, когда я смог отвергнуть работы, нарушающие эту границу, не читая их.

5. Сами авторы к концу статьи переходят на туманные выражения. В аннотации к статье говорится «мы показали, что проблема относится к классу сложности P», а в заключении попадаются фразы вроде «кажется, работает» и «во всех случаях, которые мы проверили». Я большой поклонник эвристических алгоритмов, когда о них честно сообщают и экспериментально анализируют их. Но когда «доказательство» к 47-й странице становится «аргументом в пользу правдоподобия» — время спускать всех собак!

6. Авторы статьи сразу переходят к техническим подробностям, не продемонстрировав новой идеи. Если бы знаменитую проблему можно было решить одной только манипуляцией формулами и стандартными преобразованиями, с очень большой вероятностью кто-то ее уже решил бы. Исключения из этого правила интересны именно своей редкостью (и даже с этими исключениями для того, чтобы найти нужные преобразования, обычно нужна новая идея).

7. Статья не опирается (а иногда даже не ссылается) на предыдущие работы. Математика кумулятивна. Даже Эндрю Уайлс и Григорий Перельман стояли на покрытых леммами плечах гигантов.

8. В статье много текста тратится на стандартный материал. Если вы действительно доказали, что P≠NP, вы не будете начинать свою статью с подробного определения задачи выполнимости булевых формул в k-конъюнктивной нормальной форме при k = 3, как будто ваши читатели о ней не слышали.

9. В статье настойчиво расписываются «практические последствия» и «глубокая философская значимость». Обратите внимание, что в большинстве работ сделана ровно противоположная ошибка: в них никто так и не объясняет, зачем их нужно прочитать. Но когда речь идет о чем-то вроде P≠NP, обосновывать таким образом свой результат — значит оскорблять интеллект своих читателей.

10. Методы просто кажутся вам слишком слабыми для поставленной проблемы. Из всех десяти тестов этот самый скользкий, и применять его сложнее всего — но часто именно он все и решает. Возьмем такую аналогию: ваш друг в Бостоне завязал вам глаза, 20 минут возил вас на автомобиле, затем снял повязку и заявил, что теперь вы в Пекине. Да, вы видите вывески на китайском и крыши пагод, и нет, вы не можете сходу опровергнуть его заявление — но разве из ваших знаний об автомобилях и географии не следует, что, скорее всего, вы просто в Чайнатауне? Я знаю, что это банально, но именно так я себя чувствую, когда вижу, например, статью, где для доказательства NL≠NP используется теория категорий. Мы начали в Бостоне, закончили в Пекине и ни в какой момент не пересекали ничего похожего на океан.

Конечно, это просто некоторые эвристические правила, которые срабатывали для меня в прошлом (математика хороша тем, что рано или поздно правда выяснится, и можно точно узнать, сработало ли эвристическое правило). Если статья не проходит один или несколько тестов (в особенности тесты 6-10), это не обязательно означает, что она ошибочна; и наоборот, то, что она проходит все десять проверок, не означает, что она верна. В какой-то момент вам ничего не останется, кроме как закатать рукава, сварить себе кофе и заставить аспиранта прочитать и пересказать вам статью.

Перевела Ольга Добровидова