Квантовые газы при низких температурах

На прошлой неделе у нас вышло сразу три новости [1, 2 и 3], которые так или иначе были связаны с конденсатом Бозе-Эйнштейна — состоянием, в которое переходит газ бозонов при низких температурах. Поскольку формат новости не позволяет подробно объяснять каждое слово, мы рассказали, что это такое, только в общих чертах. На этот раз мы поговорим о конденсате бозонов более подробно, а заодно вспомним про ферми-газ и квазичастицы.

Прежде чем перейти к обсуждению собственно квантовых газов, рассмотрим обычную, классическую систему. Как мы знаем, газ состоит из большого числа хаотически двигающихся по доступному пространству частиц. Температура такой системы — это средняя кинетическая энергия одной частицы (с точностью до множителя, который нас не интересует), давление — средняя сила, с которой частицы давят на стенки, когда ударяются и отскакивают от них. И хотя свойства каждой из частиц постоянно меняются, эти средние величины все время остаются примерно постоянными и характеризуют макроскопическое состояние газа.

Если придерживаться классических законов механики и считать частицы точечными, можно связать между собой известные макроскопические параметры и получить уравнение состояния идеального газа. Окажется, что температура пропорциональна произведению объема и давления. Эмпирически эту зависимость еще в 1834 году обнаружил Эмиль Клапейрон, теоретически (с использованием молекулярной кинетической теории) ее обосновали Август Крёниг и Рудольф Клаузиус в конце 1850-х.

Однако классические законы работают только при больших температурах. Дело в том, что при таких температурах диапазон энергий, доступных отдельно взятой частице, большой. Грубо говоря, энергия и импульс — а значит, и квантовые состояния разных частиц — хоть чуть-чуть, но отличаются, и из-за этого частицы в принципе можно отличить друг от друга.

Еще можно сказать, что велико число доступных для системы ячеек в фазовом пространстве. Фазовое пространство — это такое пространство, в котором по осям отложены как координаты, так и импульсы всех частиц системы. Поэтому точка, выбранная в нем, однозначно характеризует состояние системы. Правда, из-за принципа неопределенности Гейзенберга одновременно зафиксировать и координату, и импульс нельзя — произведение их неопределенностей не может быть меньше ħ/2. Поэтому фазовое пространство разбивается на ячейки объемом (2πħ)^N, где N — число частиц системы.

При понижении температуры все больше частиц переходят в состояния с одинаковыми энергиями, отличить их друг от друга становится сложнее, и из-за этого начинают сказываться квантовые свойства системы. Как известно, все частицы подчиняются либо статистике Бозе-Эйнштейна (тогда частицы называют бозонами), либо статистике Ферми-Дирака (фермионы). В первом случае волновая функция системы, состоящей из одинаковых бозонов, не будет меняться при перестановке двух частиц. Во втором случае при перестановке она будет менять знак. Проще говоря, два фермиона не могут одновременно находиться в одном квантовом состоянии (принцип запрета Паули), а бозоны могут.

Из-за этого в газе фермионов появляется эффективное отталкивание — частицы вынуждены иметь разные импульсы. При нулевой температуре все частицы располагаются внутри так называемой ферми-сферы, то есть их импульсы лежат в диапазоне от нуля до некоторого определенного значения. При отличной от нуля температуре это распределение немного «размывается». В идеальном газе, на минутку, при нулевой температуре импульсы всех частиц равнялись бы просто нулю. Поэтому при равных объемах и температуре давление в ферми-газе будет больше, чем в аналогичном классическом газе — уравнение состояния меняется.

В газе бозонов, наоборот, наблюдаются обратные эффекты. В нем частицам ничто не мешает собраться всем вместе в самом низком энергетическом состоянии, и они с радостью это делают — можно сказать, что возникает эффективное притягивание. Собственно, это квантовое состояние, в котором одновременно находится большое (как говорят, макроскопическое) число частиц, и называется конденсатом Бозе-Эйнштейна. Чем меньше температура, тем больше бозонов переходит в конденсат, при нулевой температуре в нем находятся все частицы системы.

Конечно, в жизни все немного интереснее — между частицами в квантовых газах есть взаимодействие. И чем меньше температура, тем большую роль оно играет. Вообще говоря, если сила взаимодействия каким-то хитрым образом зависит от расстояния между частицами и от их числа, учесть ее сложно. Однако в некоторых случаях это можно сделать с помощью квазичастиц — возбуждений, распространяющихся в газе реальных частиц.

Для того чтобы описывать взаимодействие было удобнее, вводят операторы рождения и уничтожения частиц с заданным импульсом, то есть переходят к представлению вторичного квантования. Оператор уничтожения устроен таким образом, что при действии на состояние системы, в котором находится n частиц, он возвращает состояние, в котором находится n-1 частица, умноженное дополнительно на √n. Оператор рождения действует в обратную сторону.

Коммутатор операторов рождения и уничтожения бозонов равен нулю, если импульсы частиц отличаются, и единице, если они совпадают. Другими словами, эти операторы можно переставлять, но только в том случае, если их импульсы отличаются. У фермионов при перестановке операторов необходимо менять знак выражения, то есть теми же свойствами обладает антикоммутатор. Собственно, этот факт отражает отличия в симметрии волновых функций систем бозонов и фермионов.

Из-за того, что мы добавили в систему взаимодействие, ее гамильтониан становится недиагональным. Гамильтониан — это оператор, который описывает энергию системы в различных квантовых состояниях. Чтобы привести его снова к диагональному виду, делают поворот — заменяют операторы рождения и уничтожения частиц на сумму новых операторов с некоторыми коэффициентами. При этом также надо следить за тем, чтобы выполнялись коммутационные соотношения операторов.

Эти новые операторы рождения-уничтожения как раз и описывают квазичастицы. С их помощью можно объяснить такие явления, как сверхтекучесть и сверхпроводимость, если посмотреть, как они ведут себя во внешнем поле и при понижении температуры. Например, в бозе-газе при низких температурах энергия квазичастиц будет пропорциональна их импульсу, то есть это звуковые колебания — фононы. Наоборот, при сравнительно больших температурах квазичастицы приобретают массу. В ферми-газе энергетический спектр квазичастиц еще сложнее.

Впрочем, неидеальные бозе- и ферми-газы — это отдельная большая история. Наверное, про них как-нибудь в другой раз.