Премию Абеля присудили за работы по дифференциальным уравнениям в частных производных

Лауреатом премии Абеля 2023 года стал Луис Каффарелли из Техасского университета в Остине. Премию присудили за «основополагающий вклад в теорию регулярностей для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, включая задачи свободных границ и уравнение Монжа — Ампера», сообщает пресс-релиз, поступивший в редакцию. Подробнее о работе математика можно прочитать на официальном сайте премии.

Абелевскую премию, одну из самых престижных премий по математике, ежегодно присуждает Норвежская академия наук и литературы. Ее считают неформальным математическим аналогом Нобелевской премии. Лауреатов определяет Абелевский комитет — пять международно признанных математиков, которые каждый год назначают, исходя из списка кандидатов.

Лауреатом 2023 года стал американо-аргентинский математик из Техасского университета в Остине Луис Анхель Каффарелли. Основная область интересов ученого — нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных. В частности, Каффарелли исследовал систему уравнений Навье — Стокса, описывающих течение жидкости, и уравнения Монжа — Ампера, класс квадратичных уравнений в частных производных второго порядка, полезных, в том числе, в дифференциальной геометрии.

Многие дифференциальные уравнения в частных производных моделируют реальные физические системы и составляют основу математического аппарата значительной части физических задач. В общем виде такие уравнения описывают целое явление, а конкретный смысл приобретают, если задать для них начальные и граничные условия. Так, уравнения Навье — Стокса описывают течение жидкости вообще, а чтобы решить, как именно она будет течь, например, в цилиндрической трубе, для этих уравнений нужно задать граничные условия: в тех точках, где находится стенка трубы скорость жидкости приравнять к нулю. Если задать еще и начальные условия, выраженные через скорость или давление в начальный момент времени, то у задачи возникает конкретный смысл: если найти ее решение, можно описать, как в жидкости в каждый момент времени будет распределена скорость.

В некоторых случаях (например, для той же цилиндрической трубы) у системы уравнений Навье — Стокса есть довольно простые точные решения, известные еще с начала XIX века. Но для большинства граничных условий точного аналитического решения для уравнений не существует. Решать их приходится численно для каждого конкретного случая или искать общие математические закономерности, которые помогают ближе подобраться к решению. Аналогичные вопросы возникают и для других систем уравнений в частных производных.

В своих исследованиях, посвященных уравнениям Навье — Стокса, Каффарелли рассматривает, как ведут себя слабые решения — функции, в которых есть особенности, то есть области, где функция недифференцируема. Такие решения удовлетворяют определенной, «слабой», формулировке изначальной задачи, но из-за наличия особенностей слабые решения часто не имеют прямого физического смысла. Однако их регулярные — то есть дифференцируемые — участки могут оказаться полезными и точно описывать реальные системы. Луис Каффарелли в своих статьях формулирует закономерности, которым должны подчиняться такие слабые решения, если они существуют. В частности, он описывает, каким образом развиваются участки с особенностями и как ведут себя регулярные участки слабых решений.

Так, в работе 1977 года аргентинский математик рассмотрел регулярные участки слабых решений для свободной поверхности жидкости, например в задаче фильтрации — движении жидкости через пористую среду. А в одной из самых известных работ — статье 1982 года — расширил постановку и рассмотрел свойства слабых решений для уравнений Навье — Стокса, описывающих несжимаемую трехмерную жидкость и показал, при каких условиях у них существуют слабые решения с частичной регулярностью.

Еще одна работа, которая упоминается в формулировке Абелевского комитета, — решение задачи Дирихле (тот есть поиск нужной функции внутри определенной области с условиями, заданными на ее границе) для уравнений Монжа — Ампера. У этого класса нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка нет прямых физических приложений, но они часто встречаются, например, в дифференциальной геометрии. Также ученый известен своими работами по теории усреднений и интегро-дифференциальным уравнениям.

Размер премии в этом году составит 7,5 миллиона норвежских крон — это около 710 тысяч американских долларов, а ее вручение в этом году состоится 23 мая в Осло.

В 2022 году лауреатом премии стал Деннис Салливан, премию которому присудили за его исследования по топологии. А в 2021 году премию Абеля получили Ласло Ловас и Ави Вигдерсон — за вклад в развитие информатики и дискретной математики. Подробнее о работах Вигдерсона вы можете прочитать в материале «По грани вычислимого».