Математик открыл больше гугола маловершинных триангуляций. Раньше было известно только пять

Математик Александр Гайфуллин из Математического института имени Стеклова обнаружил более гугола (то есть 10100) нетривиальных маловершинных триангуляций гладких многообразий; ранее их было известно только пять. Препринт с доказательством выложен на arXiv.org, коротко об этом пишет канал «Математические байки».

Одно из основных понятий в топологии — это понятие d-мерного многообразия, «гладко выглядящего объекта». Иными словами — «пространства», обитатели которого рядом с любой его точкой видят, что оно устроено как обычное (евклидово) пространство ℝd. Очевидный пример такого объекта: d-мерная сфера, задаваемая уравнением: x12 + ... + xd+12 = 1.

Другие наглядные двумерные примеры многообразий это тор и крендель: если бы Земля была огромным тором, а атмосфера не позволяла бы смотреть далеко-далеко, то жителям она все равно казалась бы плоской, какой кажется сейчас.

С другой стороны, поверхность (двумерное многообразие) можно склеивать из треугольников, пристыковывая их друг к другу ребрами, примерно так, как собирали из полигонов трехмерные объекты на заре видеоигр. Трехмерное многообразие можно собирать из тетраэдров, и вообще d-мерное — из d-мерных «гипертетраэдров» (их называют симплексами).

Естественно, что сложные многообразия нельзя триангулировать — то есть собрать из треугольников, тетраэдров или симплексов — слишком просто, со слишком маленьким (относительно размерности d) числом вершин n.

Граница малости тут проходит по числу n = 3(d/2) + 3: теорема Брема — Кюнеля, доказанная в 1987 году, утверждает, что если триангулируемое многообразие — это не сфера, то количество вершин у него должно быть не меньше 3(d/2) + 3, причем ровно это их число возможно только при d = 2, 4, 8, 16.

Более того, в этом случае многообразие, которое триангулируют, должно быть похоже на проективную плоскость — вещественную, комплексную, кватернионную или октавную соответственно.

До недавнего момента примеров таких пограничных триангуляций не-сфер с n = 3(d/2) + 3 вершинами было известно ровно 5. А именно:

  • в размерности d = 2: одна 6-вершинная триангуляция вещественной проективной плоскости ℝℙ2, получающаяся из икосаэдра отождествлением каждой из вершин, граней и рёбер с центрально симметричной (и известно, что в этой размерности других примеров нет)

  • в размерности d = 4: одна 9-вершинная триангуляция комплексной проективной плоскости ℂℙ2 (и известно, что в этой размерности тоже других примеров нет)

  • в размерности d = 8: три 15-вершинные триангуляции кватернионной проективной плоскости ℍℙ2. Они были построены давно, а вот то, что это именно кватернионная проективная плоскость, а не просто что-то «похожее», несколько лет назад было доказано Денисом Городковым из Математического института имени Стеклова.

В размерности d = 16 до недавнего времени примеров известно не было. Все изменила, причем совершенно неожиданным образом, новая работа Александра Гайфуллина (Alexander Gaifullin ) — она добавила к этому списку 634 симметричных триангуляции (у которых группа симметрий позволяет перевести любую вершину в любую) — и больше, чем 10103 не очень симметричных.

В этом поиске сначала были найдены «самые симметричные» примеры. Поиск таких примеров оказался едва по силам компьютеру: наличие богатой группы симметрий перевело поиск из категории невозможного в категорию всего лишь занимающего часы времени. Но даже такая задача потребовала написания специализированных программ: проверки оказались слишком сложными для уже имевшихся.

Оказалось, что есть ровно четыре примера, в которых на триангуляции действует группа порядка 27 × 13 = 351. Эта группа позволяет не только перевести любую вершину в любую — но и, дополнительно, позволяет нетривиально переставлять грани («по циклу длины 13»), оставляя заданную вершину на месте.

Затем оказалось, что два из этих четырех примеров связаны друг с другом локальными изменениями («флипами»), производимыми в 351 местах. Но каждое из этих изменений можно независимо от остальных производить или не производить, и результат всё равно оказывается 27-вершинным триангулированным многообразием.

Это и порождает 2351 вариантов; для получения окончательного ответа остается учесть возможные симметрии.

В 2018 году Каушер Биркар получил Филдсовскую премию за изучение многообразий Фано, о его работе мы писали в материале «Для всех размерностей».

Виктор Смирнов

Нашли опечатку? Выделите фрагмент и нажмите Ctrl+Enter.
«Десять уравнений, которые правят миром»

Мнение редакции может не совпадать с мнением автора

Сегодня мы генерируем больше данных, чем когда бы то ни было. Этим успешно пользуются люди, которые умеют работать с данными и строить математические модели. В книге «Десять уравнений, которые правят миром. И как их можете использовать вы» (издательство «Манн, Иванов и Фербер»), переведенной на русский язык Евгением Поникаровым, доктор математических наук Дэвид Самптер рассказывает, как прикладная математика применяется для управления процессами и принятия решений в финансах, рекламе, социальных сетях, науке и индустрии спорта. Предлагаем вам ознакомиться с фрагментом, посвященным математике, которая лежит в основе машинного обучения.