Математик открыл больше гугола маловершинных триангуляций. Раньше было известно только пять

Wikimedia Commons

Математик Александр Гайфуллин из Математического института имени Стеклова обнаружил более гугола (то есть 10100) нетривиальных маловершинных триангуляций гладких многообразий; ранее их было известно только пять. Препринт с доказательством выложен на arXiv.org, коротко об этом пишет канал «Математические байки».

Одно из основных понятий в топологии — это понятие d-мерного многообразия, «гладко выглядящего объекта». Иными словами — «пространства», обитатели которого рядом с любой его точкой видят, что оно устроено как обычное (евклидово) пространство ℝd. Очевидный пример такого объекта: d-мерная сфера, задаваемая уравнением: x12 + ... + xd+12 = 1.

Другие наглядные двумерные примеры многообразий это тор и крендель: если бы Земля была огромным тором, а атмосфера не позволяла бы смотреть далеко-далеко, то жителям она все равно казалась бы плоской, какой кажется сейчас.

С другой стороны, поверхность (двумерное многообразие) можно склеивать из треугольников, пристыковывая их друг к другу ребрами, примерно так, как собирали из полигонов трехмерные объекты на заре видеоигр. Трехмерное многообразие можно собирать из тетраэдров, и вообще d-мерное — из d-мерных «гипертетраэдров» (их называют симплексами).


Естественно, что сложные многообразия нельзя триангулировать — то есть собрать из треугольников, тетраэдров или симплексов — слишком просто, со слишком маленьким (относительно размерности d) числом вершин n.

Граница малости тут проходит по числу n = 3(d/2) + 3: теорема Брема — Кюнеля, доказанная в 1987 году, утверждает, что если триангулируемое многообразие — это не сфера, то количество вершин у него должно быть не меньше 3(d/2) + 3, причем ровно это их число возможно только при d = 2, 4, 8, 16.

Более того, в этом случае многообразие, которое триангулируют, должно быть похоже на проективную плоскость — вещественную, комплексную, кватернионную или октавную соответственно.

До недавнего момента примеров таких пограничных триангуляций не-сфер с n = 3(d/2) + 3 вершинами было известно ровно 5. А именно:

  • в размерности d = 2: одна 6-вершинная триангуляция вещественной проективной плоскости ℝℙ2, получающаяся из икосаэдра отождествлением каждой из вершин, граней и рёбер с центрально симметричной (и известно, что в этой размерности других примеров нет)

  • в размерности d = 4: одна 9-вершинная триангуляция комплексной проективной плоскости ℂℙ2 (и известно, что в этой размерности тоже других примеров нет)

  • в размерности d = 8: три 15-вершинные триангуляции кватернионной проективной плоскости ℍℙ2. Они были построены давно, а вот то, что это именно кватернионная проективная плоскость, а не просто что-то «похожее», несколько лет назад было доказано Денисом Городковым из Математического института имени Стеклова.

В размерности d = 16 до недавнего времени примеров известно не было. Все изменила, причем совершенно неожиданным образом, новая работа Александра Гайфуллина (Alexander Gaifullin ) — она добавила к этому списку 634 симметричных триангуляции (у которых группа симметрий позволяет перевести любую вершину в любую) — и больше, чем 10103 не очень симметричных.

В этом поиске сначала были найдены «самые симметричные» примеры. Поиск таких примеров оказался едва по силам компьютеру: наличие богатой группы симметрий перевело поиск из категории невозможного в категорию всего лишь занимающего часы времени. Но даже такая задача потребовала написания специализированных программ: проверки оказались слишком сложными для уже имевшихся.

Оказалось, что есть ровно четыре примера, в которых на триангуляции действует группа порядка 27 × 13 = 351. Эта группа позволяет не только перевести любую вершину в любую — но и, дополнительно, позволяет нетривиально переставлять грани («по циклу длины 13»), оставляя заданную вершину на месте.

Затем оказалось, что два из этих четырех примеров связаны друг с другом локальными изменениями («флипами»), производимыми в 351 местах. Но каждое из этих изменений можно независимо от остальных производить или не производить, и результат всё равно оказывается 27-вершинным триангулированным многообразием.

Это и порождает 2351 вариантов; для получения окончательного ответа остается учесть возможные симметрии.

В 2018 году Каушер Биркар получил Филдсовскую премию за изучение многообразий Фано, о его работе мы писали в материале «Для всех размерностей».

Виктор Смирнов

Нашли опечатку? Выделите фрагмент и нажмите Ctrl+Enter.