Физики решили задачу о полете абордажного крюка

Американские физики подробно рассмотрели задачу о вертикальном полете абордажного крюка с привязанной к нему веревкой. Они не только показали, что соответствующее уравнение движения можно вывести в рамках двух различных подходов, но и решили его аналитически и численно. Расчеты показали, что веревка очень сильно уменьшает степень, с которой высота полета зависит от начальной скорости. Исследование опубликовано в The Physics Teacher.

Прямые задачи баллистики заключаются в расчете траектории выпущенного снаряда. Для этого необходимо построить уравнения движения, включающие силы, которые действуют на него в полете, и решить их. Даже несмотря на сложный характер возможных сил сопротивления и геометрии снаряда, эти задачи в целом решаются относительно просто.

Гораздо сложнее дело обстоит с задачами, учитывающими различные цепи, веревки или провода, которые могут падать, сгибаться, перебрасываться через блоки и так далее. Причина этого в том, что такие объекты зачастую необходимо разбивать на множество связанных друг с другом звеньев. В результате некоторый класс задач включает в себя сегменты с переменной массой.

Сложности возникают даже в статике. Так, например, для того, чтобы понять, какой кривой описывается цепь, подвешенная за два конца, необходимо применить вариационное исчисление. В динамических же задачах не всегда удается получить аналитическое решение. Еще меньше внимание в литературе уделено проблеме баллистики снаряда, утягивающего за собой веревку. Такую задачу нужно решать, когда речь идет о полете абордажного крюка (иногда говорят про абордажную кошку). И хотя название этого инструмента отсылает к эпохе пиратов, такие крюки используют и в наше время для решения военных и гражданских задач.

Закрыть этот пробел решили Карл Мунган (Carl Mungan) из Военно-морской академии США в Аннаполисе и Тревор Липскомб (Trevor Lipscombe) из Католического университета Америки в Вашингтоне. Они не только смогли вывести адекватное дифференциальное уравнение, описывающее вертикальный полет крюка с привязанной к нему веревкой, но и решить его аналитически, насколько это возможно, а также численно.

Авторы моделировали крюк в виде точечной массы, а веревку в виде линейной массы с некоторой плотностью λ. Веревка предполагалась аккуратно свернутой на земле таким образом, что ее можно было вытягивать без запутываний и лишнего трения. Физики решали задачу о выстреле крюком вертикально вверх без учета сопротивления воздуха.

Примечательно, что в этой задаче вывод основного кинематического уравнения возможен с помощью двух подходов. В первом из них авторы рассматривали веревку с крюком как систему с постоянной массой, разделенной на три части: непосредственно крюк, часть веревки в воздухе и часть — на земле. Второй закон Ньютона для такой системы подразумевает, что производная от полного импульса определяется только той частью силы тяжести, которая определяется летящими элементами. Хитрость подхода была в правильном учете приращения импульса, которое учитывало не только линейную скорость летящих объектов, но и приращение массы.

Во втором подходе уравнение Ньютона записывалось только для крюка и летящей части веревки. Однако ее нижний конец испытывал натяжение, связывающее его с бесконечно тонким элементом лежащей на земле веревки. Равенство этого натяжения производной от импульса элемента позволило дополнить уравнение и получить такой же результат, как и в первом случае, а именно вывести дифференциальное уравнение второго порядка, которое в достаточно сложной форме связывает ускорение, скорость и координату крюка. При этом физики описали часто встречающиеся ошибки, которые могут привести к неправильному ответу.

В дальнейшем авторы сконцентрировались на аналитическом решении этого уравнения. Они не стали решать его полностью, но показали, что если свести его к уравнению на полный импульс, в котором меняется не только скорость, но и масса, то это позволит довольно легко получить выражение для максимальной высоты, на которую может подняться крюк. Эта формула выражала довольно сложную зависимость от начальной скорости крюка и его массы, но сводилась к школьной формуле v²₀/2g в пределе нулевой плотности λ. Таким же способом удалось получить зависимость скорости абордажной кошки от набранной высоты.

Для более наглядной иллюстрации физики решили уравнение движения численно для крюка массой десять килограмм, веревки плотностью один грамм на сантиметр, а также двух различных начальных скоростей: 30 и 100 метров в секунду. Первая скорость соответствует гарпунным пушкам китобоев, вторая — линеметам Лайла, использованных ранее в спасательных операциях на море. Для сравнения они построили также соответствующие графики для безмассовой веревки. Расчеты показали, что чем больше начальная скорость, тем сильнее веревка сокращает высоту по сравнению со свободным случаем.

Физики отметили, что в реальных условиях абордажные кошки запускаются под небольшими углами к горизонту. Соответствующая задача будет сильно усложнена из-за неравномерного распределения скорости по различным участкам веревки, что приведет к дополнительным натяжениям и усложнению ее формы. Кроме того, в этом случае возрастает роль сопротивления воздуха и ветра. Численный анализ потребует разбивать на конечные шаги не только время, но и саму веревку.

Абордажными крюками пользуются не только люди. Похожим образом бактерии закрепляются на клетках человеческой кожи. Мы уже рассказывали, как химики исследовали адгезионные силы, которые работают как «абордажные крюки» для бактерий.

Марат Хамадеев