Физики смоделировали лавину из фруктов на прилавке

Чилийские физики численно исследовали образование лавин в монослое сфер в наклоненном лотке, напоминающем выложенные на продажу фрукты. Поочередное извлечение случайных шариков из такой системы в конце концов рушит всю структуру. Ученые выяснили, что для определенного диапазона углов и начального числа сфер доля шариков, которые нужно достать, чтобы вызвать лавину, остается постоянной и равной примерно 8,7 процента. Исследование направлено для публикации в журнал Physical Review E, ознакомиться с ним можно по препринту.

Ситуация, когда большая система способна в результате цепной реакции разрушиться под влиянием малого воздействия, встречается повсеместно, начиная от физики и материаловедения и заканчивая экономикой и финансами. По этой причине ученые активно исследуют такие системы и строят математические модели, которые могут быть полезны в разных областях. Типичным примером этого можно считать эффект домино.

Похожим образом ведет себя и другая система: наклоненный монослой на подложке, состоящий из плотноупакованных гранул. В быту такие структуры можно увидеть на прилавках с фруктами и овощами, хотя нечто похожее встречается и при синтезе искусственных опалов. Если вытаскивать фрукты из нижней части лотка, то начиная с некоторого момента в нем возникнет лавина. Особенность гранулированного монослоя в том, что частицы (фрукты) как правило уложены в гексагональную или квадратную упаковку, а прочность структуры обеспечивает сеть контактных взаимодействий, которая может причинно связывать даже дальние участки. Несмотря на простоту такой структуры, никто системно не исследовал ее устойчивость к разрушению под влиянием единичных актов образования вакансий.

Закрыть этот пробел решила группа чилийских физиков при участии Эдуардо Рохаса (Eduardo Rojas) из Университета в Антофагасте. С помощью метода дискретного элемента они моделировали отклик плотной упаковки легких шариков в неглубоком наклоненном лотке на единичные извлечения случайно выбранных сфер. Оказалось, что вероятность лавинообразного обрушения всей структуры тесно связана с углом наклона лотка, который формирует три области на фазовой диаграмме системы.

Все шарики, смоделированные авторами, были одинаковы. Они обладали диаметром, равным четырем сантиметрам, и массой, равной 2,93 грамма (параметры соответствуют мячикам для пинг-понга). Ученые учитывали упругость шариков, выраженную через небольшую деформацию из поверхности в области контактов, а также трение между соседними шариками и между шариками и стенками лотка, которые были высотой 0,17 долей диаметра.

В качестве стартовой конфигурации во всех симуляциях физики выбирали квадратную расстановку шариков, после чего прикладывали к лотку короткую и слабую периодическую тряску. В большинстве случаев сферы сразу же стремились уложиться в почти идеальную гексагональную упаковку. После чего авторы случайным образом вынимали какую-либо сферу из слоя и наблюдали, как поведут себя оставшиеся шарики. Затем извлечение повторяли. Ученые следили за отношением количества шариков, покинувших лоток, к числу шариков перед извлечением на каждом шаге. То из отношений, которое соответствовало максимальной потере сфер, авторы выбрали в качестве параметра миграции. Если он превышал 0,8, они считали, что лавина произошла.

Помимо угла, физики изменяли число шариков, характеризуя его масштабным множителем, умножающим самую маленькую конфигурацию, состоящую из 90 сфер. На фазовой диаграмме в этих двух координатах, они выделили три области. При слишком малых углах лавин не возникает никогда. При слишком больших — лавина происходит сразу же после запуска симуляций и до каких-либо извлечений. Наконец, в окрестностях 20 градусов формируется режим, в котором лавина начинается только после нескольких извлечений.

В качестве макропараметров ученые выбрали среднее число контактов на сферу (включающее стенки, но исключающее дно), а также энергию упругости, вычисляемую через деформацию шариков. Примечательно, что при гексагональной упаковке сфер начальное число контактов немного меньше идеальных 6 (точнее, 5,25), а энергия упругости максимальна для сфер в середине лотка. Этот факт перекликается с эффектом Янсена, который наблюдается в сыпучих системах и характеризуется негидростатическим распределением давления.

Зависимости среднего числа контактов и полной энергии упругости от номера извлечения имели в среднем линейно-убывающий характер до момента образования лавины. Малые системы показывали как правило большую прочность в силу большей роли недеформируемых стенок. Аналитические расчеты показали, что между номером извлечения, вызывающим лавину, и размером системы должна быть линейная связь. Множественные симуляции подтвердили этот вывод. Более того, эта связь оказалась универсальной и не зависящей от угла в пределах своей области на фазовой диаграмме. С помощью аппроксимации результатов симуляций авторы выяснили, что система рушится при извлечении примерно 8,7 процента всех шариков.

Контактное трение играет также важную роль в микромеханике спрессованных палочек, что определяет макромеханические свойства птичьих гнезд. Фрукты же в свою очередь интересуют физиков не только своими механическими, но и спектроскопическими свойствами.

Марат Хамадеев