Квантовый квадрат Эйлера поможет cкорректировать ошибки в квантовых вычислениях

Математики сообщили о нахождении квантового квадрата Эйлера шестого порядка, у которого не существует классического аналога. Полученное решение оказалось эквивалентно максимально запутанному состоянию четырех квантовых игральных костей, которое невозможно было бы обнаружить традиционными методами. Результат работы поможет улучшить методы коррекции ошибок при квантовых вычислениях. Исследование опубликовано в Physical Review Letters.

Латинским квадратом называют квадратную матрицу, заполненную элементами некоторого счетного множества таким образом, чтобы в каждой ее строке и каждом столбце каждый элемент множества встречался только один раз. Наиболее известным латинским квадратом можно назвать квадрат 3×3, который необходимо заполнить натуральными числами, играя в судоку. Латинские квадраты нашли применение в комбинаторике, статистике, криптографии и многих других научных разделах.

Их можно усложнить, помещая в ячейки элементы не одного, а двух различных множеств (в этом случае еще говорят про пару ортогональных латинских квадратов). Такие объекты носят название греко-латинских квадратов или квадратов Эйлера в честь знаменитого математика, который активно их изучал. Для небольших размерностей такие структуры можно представить с помощью игральных карт, которые следует разместить таким образом, чтобы все масти и карты всех достоинств встречались в каждой строке и в каждом столбце ровно один раз. Эйлер не нашел греко-латинских квадратов 2×2 и 6×6, но смог построить их для 3, 4 и 5 порядков. Он также высказал гипотезу, согласно которой не существует таких квадратов порядка N=4n+2, где n — натуральное число. Для квадратов 6×6 эту гипотезу аналитически подтвердил Терри в 1901 году, однако спустя почти 60 лет с помощью компьютеров были найдены греко-латинские квадраты 10 и 22 порядков, что опровергло предположение Эйлера.

Теория латинских квадратов снова заинтересовала математиков в связи с распространением квантовой информатики. В квантовых вариантах квадратов в ячейках расположены не отдельные элементы множеств, а вектора гильбертовых пространств, описывающие их квантовую суперпозицию. В этом случае условие неравенства всех членов ряда или строки заменяется на условие ортогональности всех векторов. На базе этой идеи недавно была предложена квантовая версия судоку.

Группа математиков из Индии и Польши при участии Кароля Жичковского (Karol Życzkowski) продолжила работу в этом направлении и получили решение для квантового эйлерового квадрата 6×6. Это решение математически эквивалентно не наблюдавшемуся ранее абсолютно максимально запутанному состоянию четырех шестиуровневых кудитов, которое крайне полезно для квантовой коррекции ошибок в квантовых компьютерах.

Запутанными считаются такие состояния составной квантовой системы, которые не могут быть представлены в виде произведения состояний ее отдельных частей. Если все части попарно между собой запутаны максимально возможным образом, физики говорят об абсолютно максимально запутанном (absolutely maximally entangled, AME) состоянии всей системы. Такие состояния важны для ряда практических приложений, в особенности для коррекции ошибок в квантовых вычислениях, поскольку при их использовании можно найти ошибку меньшим числом измерений.

Исследователи активно ищут AME-состояния для системы из разного числа частиц, обладающих различным количеством уровней (кудитов). Примечательно, что для четырех кудитов такие состояния были найдены во множестве случаев кроме случая с шестью уровнями (его обозначают AME(4,6)). Если двухуровневый кудит — кубит — можно представить себе как квантовое обобщение монетки, то шестиуровневый (авторы назвали его кугексом) — как обобщение игральной кости.

Оказалось, что четыре кугекса можно описать той же математикой, что и пару квантовых латинских квадратов шестого порядка. Действительно, каждый элемент двойного квадрата с координатами i, j будет содержать в себе амплитуды k-го элемента первого множества (достоинства карты) и l-го элемента второго множества (масть карты). Однако точно также выглядит связь между одной парой двух кугексов в состоянии i и j с другой парой в состоянии k и l. Найдя решение для квантового квадрата Эйлера, математики обнаружили, что соответствующее четырехкугексное состояние — абсолютно максимально запутанное.

Чтобы его найти, авторы стартовали с классической конфигурации квадрата, которая лишь слегка не удовлетворяет условию (некоторые масти и достоинства повторяются), а затем применили к нему поисковый алгоритм, который искал решение для каждой ячейки в виде простых унитарных матриц 2×2. Этого оказалось достаточно: каждый вектор в квадрате связывает не более двух соседних мастей и достоинств. Более того, алгоритм показал, что существует всего три различные числовые амплитуды, связанные законом Пифагора для сторон прямоугольного треугольника, причем амплитуды катетов соотносятся друг с другом через золотое сечение. Поэтому соответствующее AME-состояние математики назвали золотым.

Оказалось также, что обнаруженное AME(4,6)-состояние не может быть получено никакой комбинацией уже известных стабилизаторов — кодов квантовой коррекции ошибок. Другими словами, авторы нашли новый способ поиска таких максимально запутанных состояний, что в будущем может помочь улучшить устойчивость квантовых алгоритмов. Кроме того, остается открытым вопрос о единственности их решения.

Ученые постоянно улучшают методы квантовой коррекции ошибок. Недавно мы рассказывали про разработку кода коррекции ошибок в квантовых вычислениях, который работает при вдвое большем уровне шума, чем его предшественник.

Марат Хамадеев