Модель Изинга описала узор на спине глазчатой ящерицы

Ученые применили модель Изинга (которая определяет распределение вероятностей в системе спинов через энергию их взаимодействия друг с другом и со внешним полем) для описания узора на коже глазчатой ящерицы Timon lepidus. Как сообщается в статье, опубликованной в Physical Review Letters, исследователям удалось подобрать два свободных параметра этой модели так, чтобы результат ее предсказаний согласовывался с реально наблюдаемыми узорами и прогнозами прежней модели на основе клеточных автоматов (содержащей 14 свободных параметров).

Считается, что в основе формирования узоров на коже животных на микроскопическом уровне лежат реакционно-диффузные процессы — такие, в которых химические вещества одновременно реагируют друг с другом и диффундируют в среде (тканях животного). Математические основы такого описания заложил Алан Тьюринг еще в 1952 году.

Тем не менее, когда речь идет о задаче описать свойства узора на коже только в макроскопическом масштабе, такой детальный подход может быть избыточен. Так, в 2017 году исследователи на примере ящерицы Timon lepidus показали, что его можно заменить упрощенными вычислениями на более крупном масштабе — в рамках эффективной модели клеточных автоматов.

Суть этого подхода в том, что каждая «клетка» — участок кожи, — имеет конечное число доступных состояний (в простейшем случае — всего два, как в игре «Жизнь») — цветов. В ходе пошаговой эволюции системы каждая «клетка» отслеживает состояние своих соседей и, в зависимости от этого, либо сохраняет состояние на следующем шаге, либо меняет его (наблюдения за взрослеющими особями ящериц показали, что подобное происходит и с окраской чешуек на их коже). В такой алгоритм достаточно заложить начальное распределение состояний и правила переходов в другие состояния — однако появляется свыше десятка свободных параметров, что мотивирует искать еще более простые подходы.

Исследователи из России и Швейцарии под руководством Мишеля Милинковича (Michel Milinkovitch) из Женевского Университета решили упростить описание узора на коже Timon lepidus, прибегнув к модели Изинга из статистической физики. Первоначально эта модель математически описывала намагничивание материалов, но позже нашла применение и за пределами физики: в химии, биологии, и даже социологии и экономике.

В контексте намагничивания модель Изинга описывает взаимодействие узлов кристаллической решетки материала, каждому из которых приписывается число (знак проекции спина на выделенную ось). При этом спиновые состояния взаимодействуют друг с другом (каждый узел — только с соседними) и со внешним полем: то есть в простейшем случае (когда решетка симметричная) в такой модели всего два внутренних параметра — энергия взаимодействия любых двух соседних узлов и энергия взаимодействия любого узла со внешним полем. Вероятности микросостояний в такой системе описываются распределением Гиббса: с увеличением суммарной энергии всей решетки вероятность соответствующей конфигурации экспоненциально уменьшается, причем тем более резко, чем выше температура.

Применяя модель Изинга к описанию узора на коже ящерицы, авторы воспользовались простой аналогией: узлы кристаллической решетки заменили на чешуйки в виде правильных шестиугольников (сохраняя таким образом симметрию системы — центры чешуек образовали правильную треугольную решетку), а две возможные проекции спина — на два цвета (зеленый и черный). При этом исследователи оставили неизменным характер эффективного «взаимодействия» между цветами (теперь уже чисто условного и не имеющего прямого отношения к магнетизму): чешуйки меняли цвета по тем же вероятностным законам, по которым меняют ориентацию спины в оригинальной модели Изинга.

Для простоты авторы моделировали сравнительно плоский участок кожи на спине ящерицы, и, пренебрегая краевыми эффектами (где происходит соприкосновения с головой и конечностями), установили в симуляции периодические граничные условия. Затем ученые проследили за эволюцией системы и подобрали параметры модели (эффективные константы взаимодействия чешуек друг с другом и «внешним полем») так, чтобы частота обнаружения данного количества соседей того же цвета в среднем по чешуйкам была максимально близка к той частоте, которую прогнозирует модель с клеточными автоматами (которая, в свою очередь, отвечает наблюдениям за реальными ящерицами).

Оказалось, что если чешуя ведет себя как антиферромагнитная решетка (то есть более вероятными являются состояния, в которых у соседних чешуек разные цвета) и «внешнее поле» отдает предпочтение черным чешуйкам (то есть их появление более вероятно, чем зеленых, при прочих равных условиях), то можно подобрать константы так, чтобы прогноз модели Изинга практически совпадал с результатами, которые выдает модель с клеточными автоматами — но число свободных параметров при этом в 7 раз меньше.

Таким образом, с точки зрения узора важным становятся не столько локальные перекрашивания чешуек, сколько глобальное качество всего рисунка в целом — которое исследователи количественно описали через эффективную энергию. Авторы отмечают, что такой результат хотя и позволяет описывать узоры на коже ящериц гораздо проще, с теоретической точки зрения скорее открывает новые проблемы. Не вполне ясно, как интерпретировать условную энергию взаимодействия, и как именно микроскопические процессы, которые контролируют окраску чешуи, конвертируются в поведение, описываемое моделью Изинга — эти вопросы предстоит решить в будущих исследованиях.

Ранее мы рассказывали о том, как модель Изинга помогла физикам обучить алгоритм поиска распадов бозона Хиггса, и о том, откуда берутся цвета и узоры на кошачьей шкуре.

Николай Мартыненко