Матрицы: воскрешение

Непростой новогодний тест на знание линейной алгебры

Летом 2022 года в Санкт-Петербурге состоится Международный конгресс математиков — важнейшее математическое мероприятие, которое проходит раз в четыре года. В преддверии нового года мы решили напомнить об этом событии и подготовили непростой тест с задачками по линейной алгебре. Или, проще говоря, с задачками на матрицы.

1. Василий искал собственные значения, след и определитель матрицы размера 5 на 5. В результате собственные значения получились 1, 3 и 5, след — 15 и определитель — 135. Друг Василия Сергей говорит, что таких матриц не бывает. Кто точно ошибается?
2. Матрицу L (на картинке) возвели в степень 1001. Чему равен левый верхний элемент получившейся матрицы?
3. Дана матрица A (на картинке) и матрица X, которая удовлетворяет четырем условиям: ее след равен нулю и AX + XA = 0, AX2 - X2A = 0, AX3 - X2AX - XAX2 + X3 A = 0. Чему равен правый верхний элемент матрицы X?
4. Для размерности натурального n взяли все матрицы размера n x n, состоящие из нулей и единиц. Для всех матриц вычислили определители и посчитали среднее арифметическое определителей. Оно получилось равным 1/2. Чему равна размерность пространства?
5. Дана матрица L размера 3 на 3, компоненты которой равны 1 или - 1. Какое максимальное значение может принимать определитель этой матрицы?

Нашли опечатку? Выделите фрагмент и нажмите Ctrl+Enter.