Матрицы: воскрешение

1. Василий искал собственные значения, след и определитель матрицы размера 5 на 5. В результате собственные значения получились 1, 3 и 5, след — 15 и определитель — 135. Друг Василия Сергей говорит, что таких матриц не бывает. Кто точно ошибается?

2. Матрицу L (на картинке) возвели в степень 1001. Чему равен левый верхний элемент получившейся матрицы?

1. 1
2. 1001
3. 1000
4. 0

Правильно!

Заметим, что 999 = 1000 - 1 и 1001 = 1000 + 1, значит определитель равен 1000² - 1 - 1000² = -1. Из того, что след равен нулю, следует, что собственные значения матрицы это 1 и -1. 1001-я степень такой матрицы совпадает с исходной, и левый верхний элемент равен 1000.

Неправильно!

Заметим, что 999 = 1000 - 1 и 1001 = 1000 + 1, значит определитель равен 1000² - 1 - 1000² = -1. Из того, что след равен нулю, следует, что собственные значения матрицы это 1 и -1. 1001-я степень такой матрицы совпадает с исходной, и левый верхний элемент равен 1000.

3. Дана матрица A (на картинке) и матрица X, которая удовлетворяет четырем условиям: ее след равен нулю и AX + XA = 0, AX² - X²A = 0, AX³ - X²AX - XAX² + X³ A = 0. Чему равен правый верхний элемент матрицы X?

1. 0
2. 1
3. -1
4. Недостаточно условий

Правильно!

Заметим, что второе и третье уравнения — это [AX + XA, X] и [[AX + XA, X], X] соответственно, где квадратные скобки обозначают обычный матричный коммутатор. Таким образом, второе и третье уравнение являются алгебраическими следствиями первого, поэтому их можно отбросить.

Первое уравнение AX + XA = 0 дает условие, что на диагонали X стоят нули. То есть условие равенства нулю следа так же вытекает из этого уравнения. Значит, решение системы — матрицы с нулями на диагонали и произвольными числами вне диагонали.

Неправильно!

Заметим, что второе и третье уравнения — это [AX + XA, X] и [[AX + XA, X], X] соответственно, где квадратные скобки обозначают обычный матричный коммутатор. Таким образом, второе и третье уравнение являются алгебраическими следствиями первого, поэтому их можно отбросить.

Первое уравнение AX + XA = 0 дает условие, что на диагонали X стоят нули. То есть условие равенства нулю следа так же вытекает из этого уравнения. Значит, решение системы — матрицы с нулями на диагонали и произвольными числами вне диагонали.

4. Для размерности натурального n взяли все матрицы размера n x n, состоящие из нулей и единиц. Для всех матриц вычислили определители и посчитали среднее арифметическое определителей. Оно получилось равным 1/2. Чему равна размерность пространства?

5. Дана матрица L размера 3 на 3, компоненты которой равны 1 или - 1. Какое максимальное значение может принимать определитель этой матрицы?

1. 2
2. 4
3. 6
4. 8