Динамика квантового транспорта в фрактальных решетках оказалась зависима от размерности фрактала

Ученые из Китая исследовали характеристики квантового транспорта в фотонных фрактальных решетках в виде треугольника, ковра и двойного ковра Серпинского: в отличие от регулярных структур, в фракталах наблюдался аномальный режим транспорта, характеризующийся только дробной размерностью фрактала, причем точка перехода к аномальному режиму зависела от геометрии фрактала. Статья опубликована в Nature Photonics, препринт работы выложен на сайте arXiv.org.

Фракталы — наверное, одни из самых эффектных математических объектов — обрели свою популярность не так давно благодаря красочным визуализациям Бенуа Мандельброта. Однако помимо форм, самовоспроизводящихся на меньших масштабах, фракталы обладают другим выдающимся свойством — у них дробная хаусдорфова размерность (далее то же, что и фрактальная размерность), либо хаусдорфова размерность может превышать топологическую. Например, Канторово множество обладает хаусдорфовой размерностью 0,6309..., что меньше размерности прямой, а размерности треугольника и ковра Серпинского равны 1,58 и 1,89 соответственно, что являет собой нечто среднее между одномерными и двумерными объектами. В случае же кривой Коха фрактальная размерность равна 1,098, тогда как топологическая — 1.

Такие необычные размерностные особенности фракталов не могли не привлечь внимание физиков. С момента основания фрактальной геометрии было проведено множество исследований классического транспорта (или диффузии) частиц в структурах дробной размерности. Так, в работе Саши Александера (Sasha Alexander) и Реймонда Орбаха (Raymond Orbach) была выдвинута теория, по которой течение диффузии в фракталах определяется отношением фрактальной размерности к так называемой спектральной размерности, которая также определяет геометрические свойства фрактала. Теория нашла как сторонников, так и противников, однако, несмотря на разногласия, никто в научном сообществе не оспаривает тот факт, что диффузия в фракталах носит аномальный характер.

Несмотря на множество экспериментальных работ, посвященных квантовому транспорту в регулярных и нерегулярных решетках, а также многочисленные теоретические исследования квантового транспорта в дробных размерностях, до недавних пор не было ни одного экспериментального исследования характеристик квантового транспорта в фракталах. Ученые уже реализовывали фрактальные наноструктуры из молекул, фоторефрактивных кристаллов, а также отдельных атомов (в последнем случае даже доказали, что электроны в фрактальной структуре живут в пространстве с нечетной размерностью), однако ни одна из этих реализаций не позволяет измерять свои динамические характеристики. Совершенно иная ситуация с фотонными решетками, производимыми из стекла с помощью фемтосекундного лазера, поскольку точность в них может быть сопряжена с трехмерной, более удобной для измерений структурой.

Регулярная фотонная решетка представляет собой множество упорядоченных узлов, инвариантных при трансляциях, между которыми фотон может перемещаться только через ближайших соседей. Для получения фрактальной фотонной решетки, к примеру в виде треугольника Серпинского первого поколения (G1), необходимо разделить треугольную фотонную решетку линиями, проходящими по узлам решетки, на четыре треугольника и вырезать средний, оставив три других вместе с узлами на линиях разреза. Более высокие поколения треугольника Серпинского производят последовательным применением алгоритма к оставшимся треугольникам (а после бесконечного числа итераций получается настоящий фрактал с нулевой площадью и дробной размерностью). Таким же образом из квадратной фотонной решетки можно сделать ковер Серпинского, а также двойной ковер Серпинского, имеющий ту же фрактальную размерность, но отличающийся от первого тем, что при вырезании квадратов убираются и линии разреза. В подобных решетках движение света уже ограничено в направлении фрактальных пустот, что влияет на транспорт фотонов.

Группа физиков из Китая под руководством Сяо-Юн Сюй (Xiao-Yun Xu) из Центра интегрированных квантовых информационных технологий пронаблюдала распространение пучка горизонтально поляризованного света в трех описанных выше фрактальных фотонных решетках различных размеров, а затем, исходя из вероятностного распределения эволюции системы, получила зависимость среднеквадратичного отклонения и числа Пойя (вероятности возвращения в исходную точку в результате случайных блужданий) от длины пробега фотонов Z = vt, где v — скорость света в веществе, t — время. Для сравнения аналогичные процессы и зависимости были смоделированы на компьютере.

В случае треугольника Серпинского четвертого поколения (G4) а также ковра Серпинского третьего поколения (G3) после внедрения фотонов в один из углов фрактала ученые последовательно наблюдали три режима транспорта. До того, как фотоны достигали первой фрактальной пустоты (Z=2,67 миллиметров для треугольника и Z=3,85 для ковра Серпинского), зависимость среднеквадратичного отклонения, а также числа Пойи от пройденного светом пути совпадала с соответствующей зависимостью для бесконечных регулярных решеток (нормальный режим), которая наблюдается у них на протяжении всего процесса транспорта. Затем происходил переход к аномальному фрактальному режиму (после Z=3,87 и Z=5,95 миллиметров соответственно), при котором среднеквадратичное отклонение росло как время в степени фрактальной размерности, а зависимость числа Пойи повторно (после нормального режима) испытала резкий рост и легла горизонтально на уровне 1, чего не наблюдается в регулярных решетках. Авторы также подтвердили наличие степенной зависимости среднеквадратичного отклонения в случае фрактальных решеток в несколько тысяч узлов не зависимо от места запуска фотонов в решетку, что подтверждает теоретически предсказанный результат. И наконец, когда фотоны достигали дальнего края треугольника Серпинского, зависимость среднеквадратичного отклонения фотонов начинала отличаться от степенной и флуктуировала. Последнее явление не наблюдалось экспериментально в случае ковра Серпинского из-за слишком больших размеров решетки — порядка 700 узлов (однако было получено в симуляции), по той же причине присутствует заметное отклонение результатов эксперимента от симуляции.

Физики также наблюдали случайные блуждания фотонов в двойном ковре Серпинского, геометрически отличного от ковра Серпинского. Эксперимент показал отсутствие нормальной фазы в зависимостях среднеквадратичного отклонения и числа Пойи от длины пробега — фрактальный режим сразу вступил в силу из-за того, что первая фрактальная пустота находится на входе в фотонную решетку. Также наблюдались слабые флуктуации после насыщения. Таким образом, несмотря на то, что двойной ковер Серпинского наследует фрактальную размерность ковра Серпинского, его геометрические свойства значительно меняют динамику квантового транспорта.

Тот факт, что фракталы встречаются во многих организмах (ветвящиеся деревья, кровеносная система и легкие человека), может позволить оценить вклад квантовой механики в транспорт биологических систем. Более конкретно, авторы находят возможным применение исследований квантового транспорта в фракталах к проверке теории оркестрованной объективной редукции (Orch OR), по которой сознание человека возникает в фрактальных микротрубках внутри нейронов.

Авторы надеются, что их работа приблизит человечество к пониманию квантового транспорта в неупорядоченных системах и организмах, а также способствует развитию более эффективных квантовых алгоритмов.

Ранее мы уже писали про фрактальные паттерны в физиологических процессах человеческого организма, и о том, как их регулярность влияет на продолжительность жизни.

Елизавета Чистякова