Физики предложили «невозможный» кристалл в непрерывном времени

Физики из Университета ИТМО теоретически предсказали «истинный» временной кристалл, который существует в непрерывном времени. До сих пор считалось, что такие кристаллы создать невозможно. Чтобы обойти запрет на создание таких кристаллов, ученым пришлось пожертвовать локальностью взаимодействий между частями системы — грубо говоря, предложенный временной кристалл можно создать только на основе системы, в которой каждый атом напрямую связан со всеми остальными атомами (а не только с ближайшими соседями). Впрочем, отсутствие локальности не означает, что предложенную модель нельзя реализовать на практике. Статья опубликована в Physical Review Letters, препринт работы выложен на arXiv.org.

Физики называют кристаллами системы, которые периодичны в пространстве и сохраняют свою структуру при сравнительно слабых возмущениях. Другими словами, такая система переходит сама в себя только при определенных дискретных преобразованиях, которые сводятся к трансляциям (сдвигам) на фиксированный вектор. Например, простая кубическая решетка сохраняется при сдвигах на вектора, построенные из трех перпендикулярных векторов одинаковой длины. Большинство известных кристаллов состоят из атомов, однако определение кристалла легко можно распространить и на другие системы с дискретной пространственной симметрией. В частности, к настоящему времени ученые уже научились создавать кристаллы из фотонов и сыпучих материалов.

Кроме того, определение кристалла можно естественным образом обобщить на четырехмерное пространство, потребовав от системы дополнительной инвариантности при трансляциях во времени. Впервые такое обобщение предложил в 2012 году нобелевский лауреат Фрэнк Вильчек. К сожалению, несколько лет спустя японские исследователи Харуки Ватанабе и Масаки Ошикава показали, что на практике пространственно-временные кристаллы создать невозможно: если система попадает в состояние с минимальной возможной энергией, она находится в нем неограниченно долго, а если выходит из минимума, то теряет периодичность во времени.

Впрочем, в предложенном доказательстве оставались лазейки. Во-первых, оно предполагало, что эволюция системы стационарна. Во-вторых, ученые ограничились рассмотрением близкодействующих частиц, потенциал которых степенным образом убывает с расстоянием. Впоследствии первая лазейка позволила создать так называемые «кристаллы в дискретном времени» — системы, которые периодически «подталкивают» внешнее воздействие и которые инвариантны относительно трансляций на промежуток, в несколько раз превышающий период воздействия. Подробнее про такие системы можно прочитать в статье Игоря Иванова. Вторая лазейка до сих пор учеными не использовалась. В то же время, потенциально она позволяет получить полноценные кристаллы, которые нарушают симметрию не дискретного, а непрерывного времени — так же, как обычные кристаллы нарушают симметрию непрерывного пространства.

Физики Валерий Козин и Александр Кириенко использовали эту лазейку и впервые предложили модель кристалла в непрерывном времени. Чтобы проверить, что построенный гамильтониан действительно описывает временной кристалл, ученые использовали строгое определение, предложенное Ватанабе и Ошикавой. Согласно этому определению, временной кристалл — это система, в которой корреляционная функция от двух операторов, отвечающих параметрам порядка и взятых в разные промежутки времени, в термодинамическом пределе стремится к периодической функции. Фактически это определение эквивалентно утверждению, что временной кристалл состоит из большого числа подсистем, а его структура периодически повторяется во времени. В качестве подсистем ученые выбрали квантовые состояния набора кубитов, а в качестве параметра порядка — суммарный магнитный момент системы вдоль заданной оси.

Сначала исследователи попытались построить гамильтониан временного кристалла в наиболее общем виде. Для этого физики выбрали основное состояние |E₀⟩ с фиксированной энергией, а затем с помощью оператора полного магнитного момента построили из него вспомогательное состояние |E₁⟩∝M̂_z|E₀⟩. Оставшиеся N−2 состояний ученые определили таким образом, чтобы они были ортогональны первым двум.

Оказалось, что в системе, собранной из таких состояний, условие существования временного кристалла сводится к двум простым условиям. С одной стороны, в пределе большого числа состояний среднее значение квадрата магнитного момента системы должно быть больше нуля. С другой стороны, значение магнитного момента в основном состоянии должно быть равно нулю для произвольного размера системы. Если оба этих условия выполнены, требуемая корреляционная функция периодична, а система описывает временной кристалл. Для надежности ученые также проверили, что полученная структура устойчива относительно слабых возмущений, и обобщили выкладки на случай конечной температуры.

Примером основного состояния, которое удовлетворяет требуемым условиям, является состояние Гринбергера — Хорне — Цейлингера (GHZ states) — суперпозиция состояний, в которых все спины направлены вверх и вниз. В принципе, такое состояние (а также дополняющие его ортогональные состояния с более высокой энергией) вполне можно реализовать с помощью системы кубитов.

Важно отметить, что гамильтониан, отвечающий построенному временному кристаллу, получился сильно нелокальным. Если переписать его в терминах взаимодействий между отдельными кубитами, окажется, что каждый кубит напрямую влияет как минимум на половину оставшихся кубитов (ученые доказали, что менее нелокальный гамильтониан временному кристаллу отвечать не может). Другими словами, любое возбуждение мгновенно охватывает всю описанную систему. В каком-то смысле, нелокальность — это необходимая плата за нарушение непрерывной симметрии относительно произвольных трансляций во времени. Впрочем, это условие не означает, что предложенную идею нельзя реализовать на практике — в принципе, сейчас физики уже умеют строить нелокальные системы кубитов.

Один из первых кристаллов в дискретном времени построила в 2016 году группа физиков под руководством Кристофера Монро. Основой для кристалла служила неравновесная система из нескольких охлажденных атомов. А в октябре 2018 исследователи из Нидерландов впервые создали «пространственно-временной кристалл» в бозе-конденсате холодных атомов натрия, пойманных в оптическую ловушку. Такие кристаллы одновременно периодичны и в дискретном времени, и в пространстве.

Дмитрий Трунин