Физик описал голографическую дуальность с помощью машины Больцмана

Японский физик Кодзи Хасимото показал, что голографическую дуальность (AdS/CFT-соответствие) можно описать с помощью глубокой машины Больцмана. Чтобы проиллюстрировать это утверждение, ученый рассмотрел классическую теорию скалярного массивного поля на фоне искривленного пространства. Статья опубликована в Physical Review D, препринт работы выложен на сайте arXiv.org.

Идея голографической дуальности, или AdS/CFT-соответствия — это один из ключевых результатов современной теоретической физики. Первые намеки на AdS/CFT-соответствие обнаружил в 1997 году Хуан Малдасена, с тех пор физики посвятили изучению этой темы по меньшей мере несколько тысяч (а то и десятков тысяч) статей. Если кратко, то идея AdS/CFT-соответствия заключается в том, что конформная теория поля в d-мерном пространстве (CFT_d) ведет себя абсолютно так же, как классическая теория гравитации в (d+1)-мерном пространстве анти-де Ситтера (AdS_d+1). Если строго, то в том, что производящий функционал квантовой теории поля в пределе большого числа степеней свободы равен экспоненте от действия Эйнштейна — Гильберта.

Чтобы понять, что значит «ведет себя так же», представьте себе окружность, на которой живут квантовые частицы. Поведение таких частиц описывается двумерной конформной теорией поля: одно измерение — это расстояние между частицами вдоль окружности, второе — время. В то же время, такая окружность является границей трехмерного пространства анти-де Ситтера: два пространственных измерения плюс время. Знать поведение системы — значит уметь предсказывать вероятности процессов столкновения частиц. С одной стороны, квантовая теория поля учит нас, что для этого нужно найти корреляционную функцию, которая описывает вероятность перехода частиц между двумя точками окружности. Например, это можно сделать, вычисляя производящий функционал. С другой стороны, голографическая дуальность утверждает, что корреляционная функция однозначно выражается через длину геодезической линии, которая проходит сквозь пространство анти-де Ситтера и соединяет требуемые точки. Посчитать длину такой линии гораздо проще, чем пытаться найти вероятность методами квантовой теории поля. Собственно, именно с этой простотой, которая позволяет легко получать интересные результаты, связана популярность AdS/CFT-соответствия.

Физик Кодзи Хасимото (Koji Hashimoto) посмотрел на эту ситуацию с неожиданной стороны и заметил, что она сильно напоминает глубокую машину Больцмана. Машина Больцмана — это нейросеть, которая моделирует распределение Больцмана классической модели Изинга (намагниченного тела). Схематично такую сеть можно представить в виде графа, в вершинах которого стоят числа 0 и 1. Вершина с единицей отвечает спину вверх, вершина с нулем — спину вниз. Кроме того, каждой вершине и каждому ребру приписывается определенный вес, который определяет «важность» соответствующего элемента. Учитывая все веса, можно построить энергию системы и найти наиболее вероятную конфигурацию спинов, при которой энергия минимальна.

Глубокая машина Больцмана — это обобщение машины Больцмана, к которой добавлено несколько «невидимых» уровней. В отличие от «видимых» уровней, которые моделируют наблюдаемую конфигурацию спинов, по «невидимым» уровням производится суммирование. В результате выражение для энергии усложняется, а распределение вероятностей, которое моделирует нейросеть, больше не совпадает с распределением Больцмана для модели Изинга. Более того, подстраивая веса вершин и ребер, можно смоделировать практически любое распределение вероятностей. По крайней мере, можно минимизировать разницу между искомым и полученным распределением. В сущности, в этом и заключается работа нейросети.

Держа в уме эти картинки, можно сообразить, в чем заключается аналогия между глубокой машиной Больцмана и голографической дуальностью. С одной стороны, в рамках AdS/CFT-соответствия геодезические линии, которые невидимы для живущего на границе наблюдателя, пытаются воспроизвести непосредственно наблюдаемую корреляционную функцию. С другой стороны, в глубокой больцмановской сети «невидимые» нейроны пытаются подстроить свои параметры так, чтобы смоделировать нужное распределение вероятностей на видимом слое. Таким образом, можно сказать, что номер «невидимого слоя» отвечает объемной координате, значения «видимых» нейронов — конфигурации полей на границе, значения «невидимых» нейронов — значениям полей в объеме, искомое распределение вероятностей — производящему функционалу, а «энергия» нейросети — действию Эйнштейна—Гильберта.

Чтобы проверить это нестрогое наблюдение, Хасимото рассмотрел пример простой теории в (d+1)-мерном пространстве — теорию скалярного массивного поля. Метрику пространства исследователь заранее не фиксировал, хотя и считал, что она зависит только от объемной координаты z. Затем физик дискретизовал это действие, то есть разбил координату z на N частей, заменил производные отношениями конечных приращений величин и превратил интеграл в сумму. Наконец, исследователь минимизировал распределение вероятностей с помощью метода перевала и показал, что из полученных уравнений следует соотношение линейного отклика. Кроме того, физик показал, что после регуляризации пространство, в котором живет поле, превращается в пространство анти-де Ситтера. Правда, поскольку глубина сети (максимальное значение z) конечна, такое пространство отвечает скорее пространству анти-де Ситтера с черной дырой, которая устанавливает характерный минимально возможный масштаб импульса в граничной квантовой теории. По словам Хасимото, этих двух аргументов достаточно, чтобы интерпретировать полученную глубокую машину Больцмана как голографическую дуальность.

Впрочем, ученый также отмечает несколько недостатков предложенного им метода. Во-первых, дискретизация пространства, которая использовалась в данной работе, выделяет одну определенную координатную сетку. Следовательно, инвариантность теории Эйнштейна относительно преобразований координат в этом подходе теряется. Во-вторых, говорить о полноценном описании голографической дуальности можно только в пределе N → ∞, тогда как для конечных N такое соответствие неоднозначно. В-третьих, пока не понятно, как в рамках предложенного подхода описывать информацию голографическую энтропию запутывания. Тем не менее, предложенный Хасимото подход интересен уже хотя бы своей оригинальностью.

Если вас заинтересовала идея голографической дуальности, то более подробно о ней можно прочитать в статьях «Гравитацию и квантовую теорию связали на микроскопическом уровне», «Иллюзия гравитации», «Что такое голографическая Вселенная» и «AdS/CFT-соответствие». Статьи перечислены в порядке возрастания сложности. Кроме того, можно почитать обзоры самих физиков-теоретиков, которые лежат в открытом доступе на сайте arXiv.org. В частности, 260-страничный обзор Хуана Малдасены «Large N Field Theories, String Theory and Gravity» или более краткий обзор Хоратиу Настасе «Introduction to AdS-CFT».

Недавно мы писали о еще одном примере неожиданного соответствия между физическими системами: в апреле прошлого года французский физик Эрик Дежьюли показал, что изучение первого языка напоминает фазовый переход, сопровождающий спонтанное нарушение симметрии. Для этого ученый заметил, что построение предложения во взвешенной контекстно-независимой грамматики очень похоже на вычисление статистического веса некоторой конфигурации частиц. Продолжая эту аналогию, физик вычислил энтропию (то есть «осмысленность») языка и показал, что в процессе обучения она резко увеличивается.

Дмитрий Трунин