Физик описал голографическую дуальность с помощью машины Больцмана

Koji Hashimoto / Physical Review D, 2019
Японский физик Кодзи Хасимото показал, что голографическую дуальность (AdS/CFT-соответствие) можно описать с помощью глубокой машины Больцмана. Чтобы проиллюстрировать это утверждение, ученый рассмотрел классическую теорию скалярного массивного поля на фоне искривленного пространства. Статья опубликована в Physical Review D, препринт работы выложен на сайте arXiv.org.
Идея голографической дуальности, или AdS/CFT-соответствия — это один из ключевых результатов современной теоретической физики. Первые намеки на AdS/CFT-соответствие обнаружил в 1997 году Хуан Малдасена, с тех пор физики посвятили изучению этой темы по меньшей мере несколько тысяч (а то и десятков тысяч) статей. Если кратко, то идея AdS/CFT-соответствия заключается в том, что конформная теория поля в d-мерном пространстве (CFTd) ведет себя абсолютно так же, как классическая теория гравитации в (d+1)-мерном пространстве анти-де Ситтера (AdSd+1). Если строго, то в том, что производящий функционал квантовой теории поля в пределе большого числа степеней свободы равен экспоненте от действия Эйнштейна — Гильберта.
Чтобы понять, что значит «ведет себя так же», представьте себе окружность, на которой живут квантовые частицы. Поведение таких частиц описывается двумерной конформной теорией поля: одно измерение — это расстояние между частицами вдоль окружности, второе — время. В то же время, такая окружность является границей трехмерного пространства анти-де Ситтера: два пространственных измерения плюс время. Знать поведение системы — значит уметь предсказывать вероятности процессов столкновения частиц. С одной стороны, квантовая теория поля учит нас, что для этого нужно найти корреляционную функцию, которая описывает вероятность перехода частиц между двумя точками окружности. Например, это можно сделать, вычисляя производящий функционал. С другой стороны, голографическая дуальность утверждает, что корреляционная функция однозначно выражается через длину геодезической линии, которая проходит сквозь пространство анти-де Ситтера и соединяет требуемые точки. Посчитать длину такой линии гораздо проще, чем пытаться найти вероятность методами квантовой теории поля. Собственно, именно с этой простотой, которая позволяет легко получать интересные результаты, связана популярность AdS/CFT-соответствия.
Глубокая машина Больцмана — это обобщение машины Больцмана, к которой добавлено несколько «невидимых» уровней. В отличие от «видимых» уровней, которые моделируют наблюдаемую конфигурацию спинов, по «невидимым» уровням производится суммирование. В результате выражение для энергии усложняется, а распределение вероятностей, которое моделирует нейросеть, больше не совпадает с распределением Больцмана для модели Изинга. Более того, подстраивая веса вершин и ребер, можно смоделировать практически любое распределение вероятностей. По крайней мере, можно минимизировать разницу между искомым и полученным распределением. В сущности, в этом и заключается работа нейросети.
Если вас заинтересовала идея голографической дуальности, то более подробно о ней можно прочитать в статьях «Гравитацию и квантовую теорию связали на микроскопическом уровне», «Иллюзия гравитации», «Что такое голографическая Вселенная» и «AdS/CFT-соответствие». Статьи перечислены в порядке возрастания сложности. Кроме того, можно почитать обзоры самих физиков-теоретиков, которые лежат в открытом доступе на сайте arXiv.org. В частности, 260-страничный обзор Хуана Малдасены «Large N Field Theories, String Theory and Gravity» или более краткий обзор Хоратиу Настасе «Introduction to AdS-CFT».
Недавно мы писали о еще одном примере неожиданного соответствия между физическими системами: в апреле прошлого года французский физик Эрик Дежьюли показал, что изучение первого языка напоминает фазовый переход, сопровождающий спонтанное нарушение симметрии. Для этого ученый заметил, что построение предложения во взвешенной контекстно-независимой грамматики очень похоже на вычисление статистического веса некоторой конфигурации частиц. Продолжая эту аналогию, физик вычислил энтропию (то есть «осмысленность») языка и показал, что в процессе обучения она резко увеличивается.
Дмитрий Трунин