За асимптотическую безопасность придется заплатить неабелевым взаимодействием

Британские физики-теоретики доказали, что асимптотически безопасную квантовую теорию поля невозможно построить, не прибегая к неабелевым калибровочным полям. Таким образом ученые обобщили теорему Коулмена — Гросса об асимптотически свободных теориях. Статья опубликована в Physical Review Letters, препринт работы выложен на сайте arXiv.org.

Как теория групп связана с теоретической физикой

Один из основных принципов, на которых построена современная теоретическая физика (в том числе физика частиц) — это принцип симметрии. Простейший пример симметрии — симметрия одномерной цепочки спинов, то есть стрелочек, каждая из которых смотрит либо вверх, либо вниз. Если все спины будут взаимодействовать друг с другом, то энергия цепочки будет сложным образом зависеть от ориентации стрелочек. Тем не менее, полная энергия цепочки не изменится, если мы перевернем все стрелочки в противоположную сторону. На математическом языке это означает, что наша теория инварианта относительно преобразований из группы Z₂ — группы, которая содержит единицу и минус единицу. Когда мы действуем на каждую стрелочку единичным элементом, мы получаем исходную цепочку. Когда мы действуем на каждую стрелочку минус единичным элементом, мы получаем перевернутую цепочку, которая неотличима от исходной. Различные комбинации элементов группы также не могут изменить состояние цепочки.

Более сложные теории основаны на других группах симметрии, однако принцип их работы остается тем же. Например, уравнения квантовой электродинамики (КЭД) инвариантны относительно калибровочных преобразований из группы U(1) — группы, которая состоит из всех комплексных чисел с единичным модулем. Другими словами, уравнения не меняются, если мы поворачиваем фазу волновых функций всех фермионов (ψ(x) → e^iα(x)ψ(x)) и сдвигаем 4-вектор электромагнитного поля (eA_μ → eA_μ + ∂_μα(x)). В теориях электрослабых и сильных взаимодействий в качестве калибровочных групп используются группы SU(2) и SU(3) — обобщения U(1), в которых вместо комплексных чисел используются комплексные матрицы. В принципе, зная калибровочную группу, можно восстановить всю теорию. Собственно, именно таким образом физики построили Стандартную модель — перебирали различные комбинации калибровочных групп, строили на них теории и сравнивали предсказания теорий с экспериментом.

Калибровочные группы теорий слабых и сильных взаимодействий существенно отличаются от калибровочной группы квантовой электродинамики: они неабелевы. Абелева группа — это группа, элементы которой можно перемножать в произвольном порядке: ab = ba для всех a и b из группы. В неабелевой группе равенство ab = ba не выполняется. Поскольку результат умножения двух матриц зависит от их порядка, а результат умножения двух комплексных чисел нет, группы SU(2) и SU(3) неабелевы, а группа U(1) абелева. На практике неабелевость калибровочной группы означает, что уравнения движения соответствующей теории нелинейны, то есть ее калибровочные бозоны взаимодействуют сами с собой. Например, фотоны проходят друг через друга беспрепятственно (абелева группа U(1)), а глюоны «склеиваются» (неабелева группа SU(3)). Разумеется, решать нелинейные уравнения движения гораздо сложнее, чем линейные. В частности, по этой причине физики до сих пор не могут решить проблему конфайнмента.

Что такое асимптотическая безопасность

Тем не менее, у неабелевых калибровочных теорий (в частности, теории сильных взаимодействий) есть одно замечательное свойство, которое физики называют асимптотической свободой. Асимптотическая свобода означает, что константы связи теории стремятся к нулю, когда энергия взаимодействия частиц стремится к бесконечности. Другими словами, чем ближе частицы подходят друг к другу, тем слабее они друг друга чувствуют. Поэтому физики хорошо умеют описывать поведение кварков при больших энергиях. Впервые асимптотическую свободу неабелевых калибровочных теорий обнаружили в 1973 году Дэвид Гросс и Франк Вильчек, которые впоследствии получили за это открытие Нобелевскую премию по физике. В том же году Дэвид Гросс и Сидни Коулмен доказали, что ни одна теория, которая включает в себя дираковские фермионы, фотоны или скалярные частицы, не может достичь асимптотической свободы без помощи неабелевых калибровочных полей.

В отсутствие асимптотической свободы квантовые теории поля, как правило, при больших энергиях становятся плохо определенными из-за неизбежно возникающих бесконечностей. Из-за этого теории приходится обрезать на определенном масштабе энергий. Например, эффективный заряд электрона при больших энергиях логарифмически расходится. Тем не менее, в некоторых теориях благодаря сокращению расходимостей также возникают ультрафиолетовые фиксированные точки, то есть большие значения энергии, на которых бег констант связи останавливается (бета-функция обращается в ноль). Такие теории называют асимптотически безопасными. Один из примеров асимптотически безопасной теории — (гипотетическая) квантовая теория гравитации, предложенная Стивеном Вайнбергом в конце 1970-х годов. Примечательно, что эта теория может не только объяснять уже известные эффекты, но и предсказывать новые (в отличие от других теорий квантовой гравитации). Например, в 2009 году с помощью этой теории Михаил Шапошников и Кристоф Веттерих рассчитали массу бозона Хиггса, которая впоследствии в точности совпадала с результатами Большого адронного коллайдера (m_H ≈ 126 гигаэлектронвольт). А в октябре прошлого года Астрид Эйххорн и Аарон Хельд с помощью асимптотически безопасной гравитации объяснили огромный разрыв масс между двумя самыми массивными кварками — t-кварком (m_t ≈ 173 гигаэлектронвольт) и b-кварком (m_b ≈ 4,9 гигаэлектронвольт).

Вообще говоря, асимптотически безопасная теория не обязана быть калибровочной (пример некалибровочной теории — теория Юкавы). Тем не менее, все известные примеры асимптотически безопасных теорий включали неабелевы калибровочные взаимодействия. Поэтому естественно предположить, что теорема Коулмена и Гросса распространяется не только на асимптотическую свободу, но и на асимптотическую безопасность. К сожалению, до сих пор такое обобщение теоремы доказано не было.

Плата за асимптотическую безопасность

Однако физики Эндрю Бонд (Andrew Bond) и Дэниел Литим (Daniel Litim) наконец доказали, что без неабелевых калибровочных полей асимптотическая безопасность невозможна — по крайней мере, в четырехмерном пространстве-времени. Для этого ученые рассмотрели обобщенную перенормируемую теорию, которая включает в себя калибровочные, скалярные поля и фермионы. Без потери общности взаимодействие таких полей можно свести к калибровочному, юкавскому или скалярному (типа λφ⁴) взаимодействию.

В рамках этой теории ученые учли квантовые эффекты и выписали уравнение, которое описывает бег юкавских и скалярных констант связи при отсутствии калибровочных полей. Сначала физики получили, что в первом приближении скорости роста юкавских констант ограничены снизу выражением, которое сводится к сумме квадратов этих же констант. Следовательно, получить фиксированную точку можно только в том случае, если все константы равны нулю, то есть фермионы не связаны со скалярными полями. Поскольку калибровочные поля ученые исключили, на практике нулевые юкавские константы означают, что фермионы друг друга не чувствует. Физического смысла такая теория не имеет.

В принципе, это ограничение может компенсировать самодействие скалярного поля, которое проявляется в более высоких порядках теории возмущений. Для этого вклад от самодействия скалярных полей должен быть параметрически усилен по сравнению со вкладом от взаимодействия с фермионами. Следовательно, чтобы компенсация была возможна, константы скалярного самодействия также должны иметь фиксированную точку. Однако из расчетов ученых следовало, что такая точка может возникнуть только в области низких энергий. Таким образом, без калибровочных полей получить ультрафиолетовую фиксированную точку, то есть добиться асимптотической безопасности, невозможно. При этом поля обязательно должны быть неабелевыми — в противном случае скорость роста констант связи только увеличится.

По словам авторов статьи, их результат может найти неожиданные применения. Например, он означает, что квантовые фазовые переходы второго рода, которые изучает статистическая физика, не могут произойти без участия неабелевых калибровочных полей. В частности, это утверждение покрывает фазовые переходы, которые описываются теорией Гинзбурга — Ландау, топологические фазовые переходы и конформные фазовые переходы типа перехода Костерлица — Таулесса. Также из работы ученых следует, что без неабелевых калибровочных полей нельзя построить строго пертурбативную конформную теорию поля в четырех измерениях. Поэтому физики считают, что с помощью их работы можно будет описать и изучить новые конформные теории поля в четырех измерениях.

Дмитрий Трунин