Математики нашли распределение Бенфорда в классической музыке
Математики обнаружили, что суммарная длительность нот в классических музыкальных произведениях описывается статистическим законом Бенфорда. Оказалось, что этот закон, описывающий вероятность появления определенной цифры в начале числа из реальной жизни — длины рек, высоты зданий или размера генома — подходит и для музыки, пишут ученые в препринте, опубликованном на arXiv.org
Закон Бенфорда задает вероятность, с которой та или иная цифра окажется первой в случайной числовой последовательности из реальной жизни. Этот закон имеет логарифмический вид с основанием, соответствующем числу возможных знаков. Например, в случае десятичной системы счисления вероятность того, что первой цифрой в последовательности будет d, описывается следующим уравнением:
Согласно этому закону распределения, «1» на первом месте оказывается примерно в 30,1 процента случаев, «2» — в 17,6 процента случаев, а «9» — лишь в 4,5 процента случаев. Впервые эта закономерность была обнаружена еще в конце XIX века, а в 1938 году американский физик Фрэнк Бенфорд проверил ее на выборке из более чем 20 тысяч различных последовательностей.
Аналогичные выражения существуют и для вероятности обнаружить ту или иную цифру на второй или третьей позиции в последовательности. Законом Бенфорда описывается очень большое число различных распределений: длина рек, население городов, распределение высот зданий по всему миру в любых единицах измерения или размер генома. Другие примеры распределений, подчиняющихся этому закону, можно найти здесь.
Американские математики Азар Хосравани (Azar Khosravani) из Колумбийского колледжа Чикаго и Константин Росинариу (Constantin Rasinariu) из Чикагского университета Лойолы обнаружили, что закону Бенфорда подчиняются и суммарные длительности нот в классических музыкальных произведениях. В своем исследовании ученые проанализировали записи произведений Баха, Моцарта, Бетховена, Шуберта и Чайковского, среди которых были только инструментальные произведения, в частности балеты, сонаты и концерты. Точное количество произведений авторы не указывают, но отмечают, что всего был проанализирован 521 аудио-файл (при этом количество файлов, соответствующих одному произведению, может варьироваться: например, запись балета «Лебединое озеро» состояла из 43 файлов). С помощью программы ученые определили длительность каждой ноты, после чего для каждой отдельной ноты посчитали суммарную длительность ее звучания в произведения в секундах. При этом авторы исследования отмечают, что громкие и тихие ноты анализировались одинаковым образом.
Полученный массив суммарных длительностей звучания всех нот во всех произведениях авторы работы исследовали с помощью статистического анализа и обнаружили, что эти значения подчиняются закону Бенфорда. Сначала ученые проверили эту закономерность на 32 сонатах Бетховена, для которых описали логарифмическим распределением вероятность встретить ту или иную цифру в качестве первой знака в суммарной длительности звучания ноты. Кроме того, ученые проанализировали и вероятность обнаружить в начале записи последовательность из двух знаков, которые также, как оказалось, подчиняется закону Бенфорда.
Проверив применимость закона Бенфорда к сонатам Бетховена, ученые перешли к «Лебединому озеру» Чайковского, после чего проанализировали также произведения Моцарта, Баха и Шуберта. Оказалось, что все без исключения произведения подчиняются закону Бенфорда, так же как и суммарная выборка. Никаких выводов из своих результатов ученые не делают, однако эти данные однозначно подтверждают, что последовательности, полученные из музыкальных произведений, встали в один ряд с распределениями высот зданий, длин генома или степенью сжатия файлов jpeg, которые описываются одним из наиболее контринтуитивных законов распределения.
Поскольку очень много разнообразных последовательностей описываются логарифмическим распределением Бенфорда, ученые предлагают использовать эту закономерность и в полезных целях. Например, не так давно математик Дженнифер Голбек показала, что с помощью проверки на «логарифмичность» распределения можно определять «подозрительную активность». Оказалось, что первая цифра числа друзей друзей одного аккаунта должна подчиняться закону Бенфорда. В том случае, если закон нарушается, то скорее всего учетная запись — бот.
Александр Дубов
Это 286386577668298411128469151667598498812366
Группа математиков из Бельгии и Германии и немец Кристиан Якель независимо друг от друга рассчитали значение девятого числа Дедекинда — то есть количества монотонных булевых функций девяти переменных. Предыдущее, восьмое число нашли еще в 1991 году. Чтобы найти девятое число, состоящее из 42 знаков, математикам пришлось адаптировать уже известные формулы для параллельных вычислений. Первая группа специально для расчетов сделала программируемую вентильную матрицу, а немецкий математик — использовал вычисления на графических процессорах, пишут ученые в препринтах на arXiv.org (1, 2). Дедекиндово число — число монотонных булевых функций, которые можно задать для определенного числа переменных. И переменные, и функции могут принимать только два значения: 0 и 1 (или true и false). Чем больше переменных, тем больше число. Например, если переменных 0, то функций может быть только две: f = 0 и f = 1. Для одной переменной — три функции: f(x) = 0, f(x) = 1 и f(x) = x. Для двух переменных к ним прибавляются еще три: вторая переменная f(x,y) = y, а также логическое И (x ∧ y), и логическое ИЛИ (x ∨ y). Для трех аргументов число функций возрастает уже до D(4) = 20, для пяти — до D(5) = 168. Простым перебором дедекиндовы числа для большого числа аргументов не найти, поэтому для их поиска используют либо асимптотические решения, которые позволяют определить интервал, в который попадает нужное значения, либо через точную формулу, для использования которой нужны значительные вычислительные ресурсы. Формула представляют из себя сумму, которая выражается из второго определения чисел Дедекинда — через антицепи, то есть подмножества упорядоченного множества, в котором (в отличие от цепи) любые пары элементов несравнимы. Дедекиндово число в этом случае определяет число элементов в решетке из антицепей в частично упорядоченном множестве. Результаты суммирования по этим формулам ищут с помощью суперкомпьютеров. Последнее из уже найденных дедекиндовых чисел — восьмое, D(8). Это 23-значное число вычислили еще в 1991 году. В 2014 году бельгийские математики Патрик де Каусмекер (Patrick De Causmaecker) и Стефан де Ваннемакер (Stefan De Wannemacker) из Лёвенского католического университета предложили еще один вариант формулы, с помощью которой суммированием можно найти дедекиндовы числа. Эта формула позволяет разложить решетку антицепей на подрешетки в пространствах меньшей размерности. Шестимерных подрешеток оказалось достаточно, чтобы вычислить на суперкомпьютере D(8) и подтвердить уже известное значение, однако для вычисления следующего коэффициента компьютерных мощностей уже не хватило. Теперь группа де Каусмекера, в частности его студент Леннарт ван Хиртум (Lennart Van Hirtum), совместно с группой Кристиана Плессля из Падерборнского университета нашли способ адаптировать эту формулу к существующим компьютерным возможностям. Только программными средствами эту задачу решить не удалось, поэтому ученые собрали программируемую пользователем вентильную матрицу. Чтобы получить значения необходимых 5,574 × 1018 коэффициентов в формуле суммирования, ученым потребовалось около трех месяцев на суперкомпьютерном кластере Noctua 2. В результате им удалось получить девятое число Дедекинда, которое оказалось равным 286386577668298411128469151667598498812366. В этом числе 42 знака. Кроме самого числа, ученые предоставили данные для полученных коэффициентов, описали способ проверки вычисленного значения, а также обсудили возможные источники ошибок. Параллельно с бельгийскими математиками девятое число Дедекинда вычислял Кристиан Якель (Christian Jäkel) из Технического университета Дрездена, который опубликовал препринт на три дня раньше коллег из Лёвенского католического университета. Ключевые аспекты решения Якеля — умножение матриц и анализ симметрий антицепей, которые удалось найти с помощью анализа формальных понятий. В отличие от ван Хиртума, Якель для своих расчетов использовал параллельные вычисления не на центральных процессорах, а на графических. В результате вычислений немецкий математик получил то же 42-значное число. Числа Дедекинда используют, в частности, в теории алгоритмов и теории графов, но на данный момент их поиск носит скорее фундаментальное значение. Недавно математики, которые занимаются комбинаторикой, сдвинули с мертвой точки оценку для другого числа, имеющего отношение к графам. Математики показали, что верхнюю границу для диагонального числа Рамсея R(n,n) можно сдвигать вниз относительно известного экспоненциального предела 4n. Правда, в этом случае речь идет об асимптотических оценках, а не вычислении точного значения.