Пять по геометрии

1. По неподвижной окружности, касаясь ее изнутри, катится без скольжения окружность вдвое меньшего радиуса. Траектория фиксированной точки подвижной окружности лежит на:

1. Окружности
2. Прямой
3. Ломаной линии
4. Эллипсе
5. Кривой четвертого порядка

2. По стороне правильного треугольника катается окружность радиуса, равного высоте треугольника, причем противоположная этой стороне вершина треугольника все время находится внутри окружности. Как при этом меняется величина дуги, высекаемой на окружности сторонами треугольника?

1. Увеличивается при удалении центра окружности от вершины
2. Фиксирована
3. Уменьшается при удалении центра окружности от вершины

3. На столе лежат двое плоских часов. И те, и другие идут точно, но не обязательно показывают одинаковое время. По какой линии движется середина M отрезка, соединяющего концы их минутных стрелок?

1. Эллипс
2. Ромб
3. Окружность
4. Отрезок

4. Прямоугольный лист бумаги ABCD согнули так, что его вершина C совпала с серединой C_‍1 стороны AD, как показано на рисунке. Чему равно отношение CK : KD?

1. Однозначного ответа нет, он зависит от отношения сторон исходного прямоугольника
2. ‍√3
3. 2
4. 2,25
5. √5

Правильно!

Отрезок СК вдвое длиннее. Из условия следует, что треугольники BC_‍1K‍ и BCK‍ равны, значит, BC_‍1 = BC,‍ C_‍1K = CK.‍ В прямоугольном треугольнике ABC‍₁‍ катет AC‍₁‍ равен половине гипотенузы BC_‍1,‍ значит, ∠ABC‍₁ = 30‍∘.‍ Тогда ∠AC‍₁B = 60‍∘, ∠DC_‍1K = 180‍∘ − ∠AC_‍1B − ∠BC_‍1K = 180‍∘ − 60‍∘ − 90‍∘ = 30‍∘.‍ В прямоугольном треугольнике KDC‍₁‍ катет, лежащий против угла в 30‍∘‍, равен половине гипотенузы, то есть DK = ‍1/2 KC_‍1 = ‍1/2 CK.‍

Неправильно!

Отрезок СК вдвое длиннее. Из условия следует, что треугольники BC_‍1K‍ и BCK‍ равны, значит, BC_‍1 = BC,‍ C_‍1K = CK.‍ В прямоугольном треугольнике ABC‍₁‍ катет AC‍₁‍ равен половине гипотенузы BC_‍1,‍ значит, ∠ABC‍₁ = 30‍∘.‍ Тогда ∠AC‍₁B = 60‍∘, ∠DC_‍1K = 180‍∘ − ∠AC_‍1B − ∠BC_‍1K = 180‍∘ − 60‍∘ − 90‍∘ = 30‍∘.‍ В прямоугольном треугольнике KDC‍₁‍ катет, лежащий против угла в 30‍∘‍, равен половине гипотенузы, то есть DK = ‍1/2 KC_‍1 = ‍1/2 CK.‍

5. Чему равна сумма углов при вершинах произвольной пятиконечной звезды? [Пятиконечная звезда — замкнутая пятизвенная ломаная, у которой каждое звено пересекает оба звена, не имеющих с ним общих вершин.]

1. 165°
2. 180°
3. 225°
4. 360°
5. Однозначного ответа нет, сумма зависит от формы звезды