Математики определили форму лужайки для кузнечика

Olga Goulko and Adrian Kent / Proceedings of the Royal Society A, 2017
Численное моделирование помогло найти такую форму двумерной лужайки, с которой кузнечику с наибольшей вероятностью не удастся выпрыгнуть за один прыжок. Решение задачи поможет при решении фундаментальных проблем квантовой физики, связанных с нарушением неравенств Белла, пишут авторы статьи в Proceedings of the Royal Society A.
Задача о прыгающем по двумерной лужайке кузнечике в упрощенном виде формулируется следующим образом. Кузнечика с известной длиной прыжка помещают в случайную точку лужайки фиксированной площади. При этом ставится вопрос, какой должна быть форма лужайки, чтобы после одного прыжка в произвольном направлении вероятность остаться на этой же лужайке была максимальной. Понятно, что если изначально кузнечика посадить близко к краю лужайки, он с большой вероятностью с нее выпрыгнет, поэтому даже для самого короткого прыжка и самой правильной формы лужайки вероятность остаться на ней меньше единицы, а при удлинении прыжка она еще сильнее понижается. Эта задача является не просто игрой ума, а имеет ряд приложений, например, в квантовой физике. Одним из них таких приложений является анализ неравенств Белла, которые связывают вероятность квантового состояния с наличием или отсутствием у квантовой системы скрытых параметров.
Ольга Гулько (Olga Goulko) из Массачусетского университета в Амхерсте и Адриан Кент (Adrian Kent) из Кембриджского университета рассмотрели эту задачу, расширив ее таким образом, что лужайка могла быть засеена неравномерно, но с такой же интегральной плотностью засева. Задачу ученые решали с помощью численного моделирования, при этом постановку задачи сменили с математической на физическую. Для этого они рассмотрели дискретную сетку, в узлы которой помещали квантовые частицы со спинами +1/2 или −1/2, расположенными случайным образом. На систему спинов накладывалось два условия: по общей сумме всех спинов (фиксированная площадь лужайки) и расстоянию, на котором двум спинам выгодно иметь одинаковый спин (фиксированная длина прыжка). После этого систему «охлаждали» до равновесного состояния. Конечный спин частицы соответствовал состоянию засеенности лужайки в данной точке. Поскольку система является квантовой, то вероятность того или иного значения спина отличается от единицы.
Первым контринтуитивным результатом оказалось то, что при любой ненулевой длине прыжка форма круга для лужайки не является оптимальной. Наиболее выгодная форма сильно зависит от длины прыжка и даже не всегда является радиально симметричной.
В данной работе для определения наиболее выгодной конфигурации системы спинов авторы работы применяли метод Монте-Карло, но его использование эффективно не всегда. Иногда приходится прибегать и к более сложным симуляционным системам, основанным, например на системе взаимодействующих поляритонов.
Александр Дубов