Физики выяснили, сколько пешеходов могут ввести мост в резонанс

Физики разработали модель, с помощью которой можно оценить критическое количество шагающих по мосту пешеходов, которое приведет к его резкому раскачиванию. По словам авторов исследования, опубликованного в Science Advances, предложенная ими модель позволит в будущем строить более безопасные пешеходные мосты.

Несмотря на то, что при проектировании пешеходных подвесных мостов сейчас используются самые современные пакеты для компьютерного моделирования, все равно иногда наблюдаются ситуации, когда из-за большого количества пешеходов на мосту он внезапно начинает сильно колебаться. Иногда эти колебания могут быть настолько сильными, что становятся причиной возникновения небезопасных ситуаций и разрушения части конструкций. Наиболее показательными примерами являются открытие моста Сольферино в Париже в 1999 году или регулярно раскачивавшийся мост Миллениум в Лондоне, который пришлось из-за этого перестраивать вскоре после открытия.

Раскачивающийся мост является классической колебательной системой, в которой шагающие пешеходы являются источниками внешней периодической силы. При совпадении собственной частоты колебаний моста с частотой внешней силы система приходит в резонанс, и амплитуда колебаний резко увеличивается. Если же источников внешней силы много и у всех них одинаковая частота (то есть пешеходы совершают одинаковое количество шагов за одинаковые промежутки времени), то между ними может еще происходить синхронизация фазы, когда все начинают шагать одновременно. Именно синхронизацию фазы обычно называют основной неучтенной причиной при проектировании, которая приводит к возникновению резонансных колебаний на реальных мостах. Несмотря на актуальность проблемы, все предыдущие модели, описывающие такой механизм, не могли объяснить пороговый эффект такого явления: при числе пешеходов меньше критического мост почти не раскачивается, но как только количество пешеходов, шагающих в ногу, превысит определенное значение, наблюдается резкое увеличение амплитуды поперечных колебаний.

Группа физиков из США и России под руководством Игоря Белых (Igor Belykh) из Университета штата Джорджия предложила новую модель, которая, помимо остальных параметров, учитывает и биомеханику человеческого тела в момент совершения шага. В рассматриваемой системе сам мост является колебательной системой, в которой под действием шагающих пешеходов возникают затухающие вертикальные колебания. Для описания шагающего человека рассмотрели две биомеханические модели (более полную и ее упрощенный аналог), которые учитывают, что в ответ на вертикальное колебание моста человек наклоняется в сторону и возбуждает таким образом поперечные колебания.

Точного аналитического решения для полученной системы уравнений нет, поэтому для нахождения решений авторы работы использовали численные методы. В отличие от всех предыдущих, предложенная модель привела к возникновению порогового эффекта. Если все пешеходы шагают в ногу, то при увеличении числа людей на мосту может внезапно возникнуть неустойчивость. Для подтверждения работы модели, физики проверили ее для описания раскачивания лондонского моста Миллениум, для которого даже известно точное количество человек, которое приводило к резонансу — 165.

При этом такой же эффект наблюдался и в случае, когда частота шага у разных пешеходов немного варьировалась, что еще сильнее приближает модель к реальности. Кроме того, оказалось, что наличие синхронизации фазы критично только для колебания очень тяжелых мостов (как тот же мост Миллениум, который весит около 130 тонн) с большой амплитудой. Возбуждение же колебаний с маленькой амплитудой возможно даже без синхронизации фазы. Такие случаи тоже наблюдались в реальности, и одним из возможных механизмов возбуждения колебаний даже единственным источником ученые называют смену скорости шага при движении по мосту.

В своей работе физики выразили надежду, что предложенная ими модель будет в дальнейшем использоваться для более точного проектирования безопасных подвесных и пешеходных мостов.

Для диагностики повреждений, которые появляются на крупных мостах, сейчас используются различные методы, основанные на исследовании механических характеристик и выявлении дефектов с помощью ультразвука. Недавно для осмотра мостов, в том числе и их подводных частей, начали использовать дроны.

Александр Дубов