В задаче трех тел обнаружили более шестисот периодических траекторий

С помощью аккуратного численного моделирования китайские математики обнаружили более шестисот новых типов периодических орбит в задаче трех тел (всего найдено 695 типов, из них 25 было известно ранее). Статья опубликована в журнале Science China Physics, Mechanics & Astronomy.

Знаменитая задача трех тел была сформулирована Ньютоном еще в конце семнадцатого века. На первый взгляд, она не очень сложна: в ней всего лишь требуется найти траектории трех тел, притягивающихся по закону Ньютона. Однако в действительности эта задача в общем случае не имеет аналитических решений (то есть систему описывающих ее дифференциальных уравнений нельзя свести к интегрируемой). Вообще говоря, задача трех тел представляет собой простейший пример системы с динамическим хаосом.

Тем не менее, несмотря на то, что решение задачи в общем виде найти нельзя, можно искать ее частные решения. В течение трехсот лет было известно только три вида периодических орбит: семейство траекторий Эйлера-Лагранжа, семейство Бруке-Хено-Хаджидеметриу и восьмерка Мура. В 2013 году двое сербских математиков с помощью численного моделирования обнаружили одиннадцать новых семейств замкнутых траекторий в плоской задаче трех тел с одинаковыми массами и моментами импульса. Их устойчивость исследовали позднее авторы данной статьи. В 2015 другой сербский математик сообщила об открытии еще четырнадцати типов орбит.

Новые периодические траектории китайские математики также искали численно, с помощью разработанного ими метода «чистого численного моделирования» (Clean Numerical Simulation). Для этого они рассматривали начальные конфигурации трех тел одинаковой массы, образующих равнобедренный треугольник, и задавали им различные начальные скорости. Значения проекций скоростей могли меняться от нуля до одного с шагом 0,001. Общее время движения системы составляло до 100 относительных единиц. Затем система дифференциальных уравнений интегрировалась с помощью программы, основанной на явном методе Рунге-Кутты с переменным шагом по времени.

Чтобы найти периодические орбиты, ученые немного шевелили начальные положения тел и смотрели, насколько точно они возвращаются в исходное положение спустя период. Математики считали, что траектория периодична, если величина соответствующей функции отклонения составляла менее 10^-6. Начальные положения, отвечающие интересным траекториям, определялись с помощью метода Ньютона, а потом соответствующие орбиты были аппроксимированы многочленами Тейлора с точностью до 10^-70, что гарантировало их периодичность.

Таким образом ученым удалось получить 137 типов периодических орбит, включая 10 типов, открытых двумя сербскими математиками. Интересно, что одна из открытых ранее орбит не была воспроизведена на этом этапе, но авторы отмечают, что это вполне естественно ввиду большой чувствительности движения системы к начальным условиям. Затем математики применили разработанный метод для бóльших времен движения (до T = 200) и меньших шагов для проекций скоростей (до Δv = 0.0025). В конечном счете, это позволило обнаружить 695 семейств периодических траекторий, включая все известные ранее.

Полученные типы математики классифицировали. Также ученые установили, что для периодических орбит справедлив приблизительный закон, похожий на обычный закон Кеплера. Согласно этому закону, произведение среднего периода движения тела по орбите и его энергии, возведенной в степень 3/2, равно константе, составляющей около 2,433 единиц измерения.

В настоящее время авторами статьи уже выпущен препринт новой работы, продолжающей данное направление исследований. В нем математики рассмотрели различные массы для третьего тела и нашли еще 1223 периодических решения задачи трех тел.

Подробную галерею траекторий из работы сербских математиков можно найти на сайте Милована Шувакова. Авторы данной статьи также выложили галерею найденных орбит на сайт.

Дмитрий Трунин