Движение пешеходов описали с помощью теории игр

Поведение пешеходов подчиняется условиям, которые можно описать с точки зрения теории игр. По словам математиков из Франции и Германии, в отличие от классических подходов их модель объясняет не только экспериментальные данные, но и причины, по которым пешеходы выбирают траектории движения. Работа опубликована в журнале Royal Society Open Science.

Существует много работ, посвященных поведению толпы (другими словами, движению пешеходов). В ранних работах пользовался популярностью физический подход, позволявший, например, моделировать поведение толпы с помощью динамики жидкости. В работе 1991 года каждый пешеход считается отдельной частицей, а взаимодействие между ними описывается с помощью сил притягивания-отталкивания.

В настоящее время моделирование поведения толпы основывается на множестве математических подходов, начиная от дискретных и клеточных автоматов до континуальной динамики жидкости и законов сохранения. В частности, авторы новой работы применяют для описания поведения пешеходов теорию игр.

Теория игр — раздел математики, в котором исследуется поведение двух или более сторон в играх. Грубо говоря, игра — это такой процесс, в ходе которого каждая из сторон хочет получить наибольшую выгоду.

Математические игры могут быть статическими или динамическими. В динамической игре участники могут наблюдать за действиями других игроков и строить свою стратегию, исходя из полученной информации, участники статической игры действуют без обмена информацией. Также существует разделение на игры с полной информацией, в которых все игроки знают стратегии и функции полезности друг друга, и на игры с неполной информацией, где это предположение не выполняется. Важную роль в теории игр играет понятие равновесия Нэша — ситуации, в которой каждая из сторон никак не может улучшить свое положение.

В новой работе математики рассматривали модель взаимодействия пешеходов как статическую с полной информацией дифференциальную игру. Они моделировали поведение P игроков, где P больше двух. Их состояния (то есть плотности вероятности нахождения в определенных точках) эволюционировали с помощью системы стохастических дифференциальных уравнений, основанной на уравнении Фоккера-Планка и дополненной условием, что движение происходит в ограниченном пространстве. Также на простое прямолинейное движение было наложено броуновское, чтобы помимо рационального детерминированного поведения учесть внешние случайные силы, возникающие, например, когда пешеходы пьяны или идут по неровной поверхности.

Задачей пешеходов было дойти за наименьшее время от заданной стартовой точки до заданной конечной, при этом не столкнувшись в ходе движения ни с одним другим пешеходом. Математически ее можно сформулировать как задачу максимизации функционала, учитывающего все указанные факторы.

Затем ученые рассмотрели частный случай двух пешеходов и доказали, что в задаче существует равновесное по Нэшу решение. Для этого они использовали слабую связь дифференциальной игры, то есть тот факт, что пешеходы обладают не очень большим личным пространством («чувствительны к перенаселению», как говорят авторы статьи).

Очевидно, в случае, когда пешеходы движутся независимо от остальных людей, оптимальное решение существует и представляет собой просто набор линий, соединяющих начальные и конечные точки. Однако математики показали, что оптимальное решение существует и в более сложном случае. Для этого они доказали, что условие равновесия сводится к условию минимальности определенного функционала, а затем с помощью двух вспомогательных лемм показали, что минимизирующие этот функционал стратегии действительно существуют.

После этого математики численно смоделировали с помощью разработанного ими алгоритма поведение двух пешеходов и сравнили результаты с экспериментальными данными. Всего они рассмотрели четыре различных эксперимента, отличающиеся начальным положением пешеходов и предполагаемым направлением их движения.

Например, в эксперименте Turnwald 1C-B2 люди должны были пройти из точки 1 в C и из точки 2 в B (см. рисунок), так что их пути неизбежно пересекаются. Как и ожидалось, при большем «радиусе личного пространства» траектории сильнее отклоняются от прямых линий. Результаты численного моделирования хорошо согласуются с результатами симуляций с помощью алгоритма Монте-Карло и с экспериментальными данными.

Новый подход математиков, основанный на теории игр, позволяет объяснить, почему пешеходы выбирают именно такие траектории, поскольку он в каком-то смысле учитывает поведение и мотивацию каждого из участников движения. В то же время классические феноменологические подходы просто описывают внешний вид происходящих процессов.

Теорию игр применяют для разработки и других моделей, описывающих поведение большого числа людей. Так, недавно разработчиком Nicky Case была выпущено приложение, которое с помощью теории игр наглядным образом объясняет, как в обществе устанавливаются доверительные отношения.

Дмитрий Трунин