«Теорема зонтика, или Искусство правильно смотреть на мир через призму математики»

Простота мира нам, увы, только мнится. Зачастую совершенно повседневные вещи и события, предельно простые в использовании и понятные в быту, на поверку оказываются очень сложными — особенно если вы вооружитесь математическим аппаратом для их анализа. В книге «Теорема зонтика, или Искусство правильно смотреть на мир через призму математики» (издательство «Бомбора»), переведенной на русский язык Ириной Сысоевой, математик Микаэль Лонэ показывает, как глубоко можно уйти, если присмотреться к ценам в супермаркете или задуматься, с какой скоростью ты движешься прямо сейчас. Предлагаем вам ознакомиться с фрагментом, посвященным измерению протяженности мировых границ и причинам возникновения серьезных расхождений в цифрах, которые можно найти в разных источниках.

О длине границ

Ла Райя, сухопутная граница между Испанией и Португалией, — одна из старейших границ в мире. Несмотря на многовековые конфликты, претензии и взаимные амбиции, ее нынешняя демаркация почти идентична той, которая была ратифицирована королями Португалии и Кастилии Альканьесским договором от 12 сентября 1297 года.

Начинаясь у западного побережья полуострова, она проходит несколько десятков километров вверх по течению реки Миньо, а затем поворачивает направо к реке Тронкосо. Пересекая реки и древние тропы, зигзагообразная граница в иберийской глубинке то здесь, то там отмечена старыми резными пограничными столбами, покрытыми лишайниками. Вскоре она поворачивает на юг, описывая выщербленный прямой угол вокруг северо-западной части Португалии. На протяжении нескольких сотен километров она прихотливо извивается, пока не достигает русла Гвадианы, которому и следует до Кадисского залива. Этот контур официально установлен по Венскому договору 1815 года и с тех пор больше не оспаривался ни одной из сторон.

Тем не менее кое в чем эта граница вызывает споры. Несмотря на ее древность и однозначность официальных соглашений, ее определяющих, географы, похоже, так и не сошлись во мнении касательно ее длины. Какова длина Ла Райя? В различных энциклопедиях и справочниках можно встретить самые разные значения в диапазоне от 914 до 1292 км, — разница составляет более 30 процентов!

Такая неточность кажется совершенно недопустимой. Двести лет назад Буге и де ла Кондамин измерили длину меридиана в Перу с погрешностью в 0,02 процента. Как мы можем в XXI веке в Европе, на территории гораздо более простой для исследований, чем Анды, и с более современными и точными приборами получать данные в 1500 раз менее точные, чем академики XVIII века?

Тем более что этот случай далеко не единичный. Практически все границы мира, а также все береговые линии прибрежных районов выглядят жертвами возмутительно небрежных измерений. Существует два основных ресурса, в которых приведены длины береговых линий мира. Первый — это Всемирная книга фактов (World Factbook), справочник, составленный и опубликованный ЦРУ США. Второй — справочник Института мировых природных ресурсов (WRI), американской экологической организации. Обе эти структуры располагают высокоточными техническими средствами, и серьезность их работ не вызывает сомнений. И все же почти в двух сотнях стран, упомянутых в справочниках, эти организации, проводя одни и те же измерения, похоже, оказались не в состоянии получить один и тот же результат.

Так, по данным Всемирной книги фактов, протяженность береговой линии Канады составляет 202 080 км, а WRI оценивает ее в 265 523 км. Разница составляет более 60 000 километров! Снова 30 процентов. И то же самое наблюдается практически со всеми береговыми линиями планеты.

Такие расхождения непонятны. Как вышло, что человечество внезапно разучилось проводить географические измерения? Призраки Буге и де ла Кондамина, похоже, смеются над нами.

Дабы вернуть доброе имя современным топографам и установить происхождение этих неточностей, потребуется изобретательное и вдохновенное объяснение необъяснимого. В Ньюкасле, на севере Англии, в 1881 году родился Льюис Фрай Ричардсон — человек гибкого и богатого ума. В течение своей жизни Ричардсон интересовался естественными науками, математикой и психологией — и преуспел в этих науках. Помимо прочего, он был одним из предвозвестников появления радара и первопроходцем в прогнозировании погоды. Кроме того, он был убежденным пацифистом, и его политические идеи оказали большое влияние на его деятельность и научные исследования.

Во время Первой мировой войны он отказался от военной службы по соображениям совести, что не помешало ему работать в добровольном отделении скорой помощи во Франции, где он прослужил три года. По возвращении в Англию он присоединился к метеорологическому бюро, но ушел в отставку в 1920 году, когда его прикрепили к Королевским ВВС. Затем бросил некоторые из своих работ и уничтожил часть своих трудов, опасаясь, что их могут использовать в военных целях.

В ответ Ричардсон решает использовать свои научные таланты для изучения того, с чем он хочет бороться: самой войны. Начиная с 1930-х годов, он опубликовал множество статей, посвященных психологии в условиях войны, гонке вооружений и математическим механизмам вооруженных конфликтов. Именно во время одного из этих исследований британский ученый столкнется с неожиданной проблемой и почти случайно найдет путь к одной из самых красивых математических теорий.

Британский математик заметил, что число воюющих стран тем больше, чем длиннее их общая граница. Чтобы точно изучить эту статистическую связь, он начал собирать географические данные о протяженности границ различных стран мира, а затем понял, что собранные им измерения странным образом расходятся. Так, он с удивлением отмечал, что Испания и Португалия расходятся по поводу протяженности своей общей границы. Испания заявляла, что она составляет 987 км, Португалия — 1214.

Заинтригованный, Ричардсон изучил этот вопрос и в конечном счете выяснил причину разногласий. В 1951 году он написал статью, которая будет опубликована только через десять лет — посмертно. Вывод из его анализа очень поучителен: у границ нет длины. Или, более конкретно, единого и объективного способа определить длину границы не существует.

Мы уже должны были бы привыкнуть к таким ситуациям, но они все равно каждый раз застают нас врасплох. Ладно, сложения и умножения. Ну, допустим, высоты. Но что может быть не так с границами?

В 1967 году математик Бенуа Мандельброт вернулся к выводам Ричардсона, развил и дополнил их в статье, ставшей легендарной: «Какова длина побережья Великобритании?» (How Long Is the Coast of Britain?) Проблема, объясняет Мандельброт, заключается в том, что границы и береговые линии настолько изрезаны, что мы просто не можем к ним толком подобраться. Они поворачивают, изгибаются и рвутся. Ни единый кусочек границы, похоже, не хочет идти по прямой линии.

Нужно ли утруждать себя скрупулезным отслеживанием каждого извива в несколько десятков метров, чтобы по лучить максимально точный результат или можно просто «спрямить» их? А что делать с утесами в литоральной зоне, конфигурация которых может постоянно меняться в пределах нескольких метров? А с камнями размером менее метра? Конечно, в идеале нужно быть максимально точным, но чем-то обязательно придется пожертвовать. Невозможно обойти каждую песчинку! Нет смысла измерять длину с точностью до миллиметра. Но в таком случае, где находится предел?

Все эти вопросы можно было бы снять, положившись на то, что мелкие погрешности не сильно повлияют на конечный результат. Для береговой линии протяженностью в несколько сотен километров незначительные изгибы менее 10 сантиметров в длину кажутся маловажными, но их просто слишком много! Если по берегам Британии подобных десятисантиметровых изгибов насчитывается, допустим, миллион, то их совокупная длина составит 100 км! Проигнорировать их — значит допустить огромную ошибку в измерениях.

Суть проблемы в том, что чем меньше детали, чем их больше, а значит, тем больше их совокупная длина.

Вывод Мандельброта неоспорим: чем точнее мы измеряем побережье Британии, тем больше будет результат. Добавление все более мелких деталей только увеличивает конечную длину. Если мы не хотим делать никаких допущений, единственный ответ на вопрос таков: длина побережья Великобритании бесконечна.

Сегодня это явление носит название эффекта Ричардсона или, более широко, парадокса береговой линии. Стоит только найти естественную зигзагообразную линию, следующую по пути, проложенному природой, например, по реке, горному хребту или утесу, — и этот парадокс тут как тут. Так обстоит дело с Великобританией, границей Ла Райя между Испанией и Португалией, а также с большинством побережий и границ мира. Все их длины бесконечны. С другой стороны, меридианы, пересекающие земной шар от Северного полюса до Южного, следуют по прямой линии, и их длина определяется однозначно. Вот почему — и это никак не умаляет их подвиг — Буге и де ла Кондамин смогли добиться такой точности в своих исследованиях в Перу.

Понимание того, что берега и границы бесконечны, — это только первый шаг. Но даже при беглом взгляде на карту очевидно, что некоторые границы длиннее других. Так что ограничиться констатацией того, что все границы бесконечны, было бы слишком просто — да и неверно. Такое утверждение говорит только об одном: мы прибегли не к той математике. Измерять протяженность границ так же, как измеряют длину прямых линий, некорректно. Что ж, мы избавились от неэффективного метода, осталось создать новый, более подходящий и практичный.

Бенуа Мандельброт посвятит большую часть своей научной жизни изучению форм, подверженных парадоксу береговой линии, то есть геометрических фигур, содержащих множество деталей разнообразных размеров. Увеличивайте масштаб сколько хотите — очертания этих фигур никогда не станут ровными. Там, где Ричардсон проявил любопытство, Мандельброт построил новую теорию, которую поддержали многие молодые математики.

В 1974 году, через семь лет после выхода в свет своей статьи о побережье Британии, Мандельброт решил, что пришло время придумать слово для обозначения этих фигур, одновременно таких красивых и загадочных. Он назвал их «фракталами».

Новое путешествие только началось. Чтобы разгадать тайну фракталов, а через них и тайну береговых линий, нам предстоит углубиться в суть одной из самых завораживающих и изменчивых концепций математики — бесконечности.

Подробнее читайте:
Лонэ, Микаэль. Теорема зонтика, или Искусство правильно смотреть на мир через призму математики / Микаэль Лонэ ; [перевод с французского Ирины Сысоевой]. — Москва : Эксмо, 2022. — 352 с. : ил. — (Красота математики).