Уравнения Шредингера приспособили для игр

Французские ученые предложили использовать уравнения Шредингера для теории игр среднего поля. Об этом говорится в статье, опубликованной в журнале APS Physics, с ее текстом также можно ознакомиться на сайте arXiv.org.

Теория игр среднего поля является частью раздела теории игр — математического метода изучения оптимального поведения в ситуациях стратегического взаимодействия. Предполагается, что есть система большого числа (в пределе бесконечного числа) лиц, каждый из которых стремится к максимизации некоторого функционала. Значение функционала зависит от поведения каждого игрока и от динамики распределения положений всех игроков. Динамика каждого агента описывается дифференциальным уравнением, также зависящим от распределения игроков. Распределение положений игроков описывается вероятностной мерой. Таким образом, игра среднего поля — это динамическая система, включающая динамику вероятностной меры.

Обычно, когда число агентов в игре достаточно велико, ученые для создания модели используют такой подход, который усредняет поведение всех агентов. Авторы статьи предлагают использовать уравнения Шредингера для построения моделей игр среднего поля — фактически, применить квантовую теорию игр к играм среднего поля.

Суть отличия подходов можно описать наглядным примером. Рыбы в реке сбиваются в стаи, однако биологи не могут смоделировать каждое конкретное взаимодействие одних рыб с другими, поэтому они разбивают реку на участки, в которых измеряют плотность рыб. Затем это «рыбное поле» используется в качестве входного параметра для описания поведения всех рыб и с его помощью строится математическая модель.

В случае подхода, предложенного французскими учеными, каждая рыба выбирает определенную скорость движения, которая сводит к минимум функцию затрат. Эта функция включает в себя энергию, производимую рыбами, и взаимодействие в рамках модели (например, рыбы плавают вместе, чтобы отогнать хищника). Полученные уравнения для игр среднего поля имеют ту же форму, что и нелинейные уравнения Шредингера с копмлексной временной переменной. Полученная волновая функция  распределения рыб в реке в данном случае является решением, соответствующим более традиционному численному моделированию.

На данный момент ученые применили этот подход на теоретическом уровне, поэтому насколько успешен он будет на практике, им только предстоит выяснить. Предположительно, он сможет быть применен в биологии для исследования поведения животных, а также в экономике, где традиционно используется теория игр.

Квантовый подход к теории игр был предложен учеными более десяти лет назад. Квантовая теория игр является расширением классической теории игр в квантовую область и отличается рядом особенностей: суперпозицией начальных состояний, квантовой запутанностью начальных состояний и суперпозицией различных стратегий, которые могут быть использованы в начальных состояниях

Кристина Уласович