Как математики искали короткие пути по правильным многогранникам
«Платоновы тела» — пять возможных в трехмерном пространстве правильных многогранников — изучают со времен античности, но даже сейчас математики узнают о них что-то новое. Американские ученые впервые доказали, что на додекаэдре существует замкнутый путь, начинающийся в одной из вершин и везде идущий по прямой, не заходя в другие вершины. О предыстории этой задачи, чем она интересна и как была решена, N + 1 рассказывает математик Виктор Клепцын.
Вопрос, на который отвечает работа американских математиков Джаядева Атрейи, Дэвида Аулисино и Патрика Хупера, формулируется чисто геометрически. Представьте себе планету в форме додекаэдра, в вершинах которой находятся дома живущих на ней математиков. Может ли один из них выйти из дома и «по прямой» вернуться обратно, не заходя в дома коллег? А если может, то как описать такой путь?
Конечно, сначала нужно уточнить, что означает «идти по прямой» на поверхности многогранника.
Математикам уже было известно, что на других правильных многогранниках — на тетраэдре, октаэдре, кубе и икосаэдре — таких траекторий нет. На рисунке ниже изображена одна «не работающая» попытка построить такую траекторию на кубе: на изображенной развертке точкам A и C соответствует одна и та же вершина куба, но двигаясь по прямой AC на кубе мы по пути наткнемся на другую вершину, B. Так будет всегда — при любой попытке пройти из одной вершины в неё же мы непременно пройдем и через какую-то другую вершину.
Для тетраэдра это несложно доказать. Если бы на правильном тетраэдре ABCD такая траектория — например, начинающаяся и заканчивающаяся в вершине A — существовала, можно было бы «прокатить» тетраэдр вдоль нее, перекатывая его с грани на грань по плоскости и «отпечатывая» каждую очередную грань.
Сама траектория на плоскости тогда стала бы прямой (точно так же, как становятся прямыми «достроенные после отражения» лучи в школьной физике), а посещенные грани и соответствующие им вершины были бы частью решетки, изображенной на рисунке ниже. Но любой отрезок между одинаково помеченными вершинами там проходит через вершину с другой пометкой, просто из соображений четности. Так предположение о существовании такого пути на тетраэдре приходит к противоречию.
Для других правильных многогранников, впрочем, столь простым рассуждением обойтись не получится. Но отсутствие таких траекторий для октаэдра, куба и икосаэдра также было доказано — и лишь вопрос для додекаэдра оставался открытым.
И ответ на него, в отличие от всех остальных, оказался положительным: на додекаэдре такие пути существуют. Первый пример такого пути (причем несамопересекающегося) изображен на рисунке ниже. Склеив эту (нестандартную) развертку, можно получить правильный додекаэдр — а вершины, которые соединяет проведённый отрезок, становятся одной и той же.
В следующей работе эти же авторы вместе с еще одним коллегой удалось расклассифицировать все такие траектории. Оказалось, что их существует бесконечное множество — и что они делятся на 31 класс эквивалентности. На представителей всех этих классов можно посмотреть
.
Вопрос о таких путях связан с общей теорией трансляционных поверхностей (также называемых очень плоскими). Такие поверхности получаются из одного или нескольких многоугольников на плоскости, стороны которых разбиты на пары равных и параллельных, и каждая пара сторон которых склеена по совмещающему их параллельному переносу. Простейший пример такой поверхности — тор, и наверняка многим известны видеоигры, где игровые персонажи, покидая экран через одну сторону, сразу же возвращаются обратно с другой.
Теория таких поверхностей (и связанные с ними вопросы) оказывается очень глубокой — можно вспомнить работы лауреатов премии Филдса Мариам Мирзахани, Максима Концевича, Курта МакМюллена, Жана-Кристофа Йоккоза, лауреата премии Breakthrough Prize Алекса Эскина, Антона Зорича, и многих других.
Они оказываются связаны как с биллиардами в многоугольниках (о них недавно писал N + 1), так и с комплексным анализом и пространствами Тейхмюллера. Можно вспомнить задачу о «запутывании ветра в деревьях» и подход к ней через коцикл Концевича–Зорича, можно вспомнить «теорему о волшебной палочке» Эскина–Мирзахани. В общем, получающаяся область вовсе не так проста, как может показаться на первый взгляд.
Но вернемся к исходной задаче. Для описания пути по додекаэдру авторы взяли трансляционную поверхность, которая получается, если на плоскости разместить каждую грань в каждом из возможных положений, в котором она может оказаться при «перекатывании» фигуры. Эти грани объединяются в 10 поворотов одной развертки додекаэдра — с отождествленными соответствующим образом оставшимися сторонами.
Получающаяся поверхность огромна: топологически это сфера с 81 ручкой. На ней 20 вершин, которые соответствуют 20 вершинам додекаэдра. В каждой из этих вершин сходятся 30 пятиугольников, образующих «конические особенности»: полный угол отличен от 360° — правда, в бóльшую, а не меньшую, как в вершине обычного конуса, сторону. Однако — и в этом сила этого подхода — геодезические линии на ней становятся просто прямыми — продолжающимися сквозь «склеенные» пары сторон.
Кроме того, есть гораздо более «ручная» трансляционная поверхность Π5 — «двойной пятиугольник», получающаяся всего из двух пятиугольников: одного вершиной вверх, другого вниз.
И из огромной поверхности S в Π5 есть простое отображение («разветвленное накрытие»): все пятиугольники из S параллельно переносятся на пятиугольник Π5 той же ориентации (вершиной вверх/вниз). Такое отображение сопоставляет любому пути из вершины в вершину (не обязательно ту же самую) на S путь из вершины в вершину на Π5.
Правда, по пути на двойном пятиугольнике (да и на додекаэдре) не очень просто сказать, соответствует ли он пути на S, идущем из вершины в ту же самую вершину.
Далее к трансляционной поверхности можно применять аффинные преобразования плоскости — такие, как «скашивающее» преобразование (x, y) → (x+y, y). Они переводят прямые в прямые, поэтому прямому пути на исходной трансляционной поверхности соответствует прямой путь на поверхности-образе. Иногда исходная поверхность переходит в себя, как тор, полученный из квадрата, на рисунке ниже.
Более того, некоторые трансляционные поверхности «достаточно симметричны», чтобы преобразований, переводящих их в себя, было бы «много». И — что самое важное для этой задачи — чтобы применение таких преобразований позволяло «упрощать» геодезические линии на них. Так последовательными преобразованиями (x,y) → (x±y,y) и (x,y) → (x,y±x) любая замкнутая геодезическая на квадрате переводится просто в геодезическую линию вдоль ребра.
А упрощение замкнутых геодезических линий на двойном пятиугольнике Π
можно посмотреть на видео, выигравшем в 2012 году конкурс «Станцуй свою диссертацию» в разделе математики и физики. Его снимала Диана Дэвис, один из авторов работы, где был исследован случай тетраэдра и куба.
На двойном пятиугольнике любая геодезическая линия из вершины в вершину упрощается до либо ребра, либо диагонали одного из пятиугольников:
Правда, не любое преобразование нашего двойного пятиугольника соответствует преобразованию, сохраняющему всю огромную поверхность S. Однако «поднимающихся» на S преобразований двойного пятиугольника Π5 «много»: они образуют подгруппу конечного индекса (а именно, индекса 2106). Это значит, что любое преобразование Π5 разбивается в композицию одного из 2106 фиксированных преобразований (о которых можно думать, как об «остатках») и преобразования, «поднимающегося» на S.
Поэтому любой путь из вершины в вершину на S может быть переведен (преобразованием S) в один из конечного числа путей, проецирующихся в 2106 вариантов образов σ0 и σ1 на Π5. Это сводит задачу описания всех путей на додекаэдре к конечному перебору: для каждого образа σ0 или σ1 на Π5 нужно проверить, «поднимается» ли он до пути, соединяющего одну и ту же вершину на S и, тем самым, на додекаэдре.
Это большая работа — как и аккуратный учет того, какие из получающихся путей совмещаются вращением додекаэдра. Но ее в принципе уже можно сделать, просто поручив этот конечный перебор компьютеру.
Я закончу этот текст комментарием Антона Зорича: «Двадцать лет этот вопрос был совершенно вне досягаемости; десять лет назад он бы потребовал огромных усилий по написанию (тогда не существовавших) программ. Теперь эти программы, написанные Вансаном Делекруа, Самюэлем Лельевром, Шарлем Фужероном и другими специалистами в этой области — существуют и доступны всем желающим, как часть открытой и бурно развивающейся математической системы SAGE. Так что все факторы сошлись вместе!»
Виктор Клепцын