Зараза, гостья наша
Как математика помогает бороться с эпидемиями
Эпидемии издавна угрожали человечеству, и только в ХХ веке были разработаны эффективные средства борьбы с инфекциями. К числу этих средств принадлежат и системы дифференциальных уравнений — математика помогает моделировать распространение эпидемий и помогает понять, как следует с ними бороться. Это наш третий материал о самых интересных дифференциальных уравнениях и о том, где и как они применяются (предыдущие материалы можно прочитать здесь и здесь). Если вы читаете нас с телефона, переключайте страницу на десктопную версию, так вы сможете увидеть интерактивный график целиком.
В XXI веке мир уже успел столкнуться с эпидемией птичьего гриппа в Юго-Восточной Азии (в 2013 году) и вспышкой заболеваний лихорадкой Эбола в Африке (2015). Но в истории человечества бывали и куда более масштабные эпидемии.
В 551-580 годах нашей эры в Восточной Римской империи разразилась первая задокументированная пандемия чумы, получившей название Юстиниановой, в результате которой погибло около 100 миллионов человек (по другим данным, жертв могло быть значительно меньше). Спустя еще 800 лет в Евразию и Северную Африку пришла Черная смерть — пандемия чумы, сразившая от трети до половины тогдашнего населения этих регионов.
В результате Первой мировой войны, вызвавшей перемещение большого количества людей, в 1918 году распространился испанский грипп, охвативший более 500 миллионов человек и погубивший каждого десятого заболевшего. Эта пандемия стала самой масштабной за всю историю человеческой цивилизации, коснувшись до 30 процентов населения Земли.
В медицинской классификации эпидемией называют прогрессирующее распространение инфекционного заболевания на уровне выше среднего на данной территории. В случае распространения эпидемии на большие территории или территории многих стран говорят о пандемии.
Для эпидемии среди животных применяется термин эпизоотия, а среди растений — эпифития. Этим явлениям ученые также уделяют большое внимание, поскольку они, в свою очередь, помогают понять механизм распространения инфекций.
Изучение механизмов развития и распространения эпидемий является важным способом борьбы с заболеваниями наряду с поиском новых лекарств, вакцинацией и профилактическими мерами. На помощь медикам пришли математики — для этого им пришлось объединить дифференциальные уравнения и теорию вероятности.
Первую попытку использовать математический аппарат для исследования механизмов распространения заболеваний предпринял Даниил Бернулли, ранее открывший первые законы гидродинамики. Следующий шаг сделал Уильям Фарр, применивший в 1840 году нормальное распределение к анализу смертности от оспы.
О том, как дифференциальные уравнения применяются в моделировании сложных биологических систем, мы уже рассказывали в статье «Я догоняю, ты убегаешь». Там рассматривалась модель Лотки-Вольтерры — система дифференциальных уравнений для моделирования системы «хищник-жертва». По этой же модели будет распространяться и эпидемия в ситуации, предполагающей стопроцентную летальность при отсутствии инкубационного периода, иммунитета и других факторов.
Наконец, опираясь на работы большого числа предшественников, британские ученые Андерсон Кермак и Уильям Маккендрик разработали широко применяемую сегодня модель SIR. Эта аббревиатура происходит от английских слов Susceptible — Infected — Recovered, буквально означающих «восприимчивые — инфицированные — выздоровевшие». Под «восприимчивыми» тут подразумеваются еще не инфицированные организмы.
В рамках этой модели с помощью систем дифференциальных уравнений (при условии непрерывности времени и большой популяции) или разностных уравнений (при дискретном времени и ограниченной популяции) описывается динамика распространения заболевания.
Модель SIR
SIR–модель получила заслуженную популярность в силу простоты построения и использования. Ее применение позволяет точно моделировать эпидемии гриппа и других заболеваний в больших городах, вводить новые параметры и анализировать разные сценарии.
Система уравнений SIR:
где
- S(t) — численность восприимчивых индивидов в момент времени t;
- I(t) — численность инфицированных индивидов в момент времени t;
- R(t) — численность переболевших индивидов в момент времени t;
- β — коэффициент интенсивности контактов индивидов с последующим инфицированием;
- γ — коэффициент интенсивности выздоровления инфицированных индивидов.
Первое уравнение системы означает, что изменение числа здоровых (и при этом восприимчивых к заболеванию) индивидуумов уменьшается со временем пропорционально числу контактов с инфицированными. После контакта происходит заражение, восприимчивый переходит в состояние инфицированного.
Второе уравнение показывает, что скорость увеличения числа заразившихся растет пропорционально числу контактов здоровых и инфицированных и уменьшается по мере выздоровления последних.
Третье уравнение демонстрирует, что число выздоровевших в единицу времени пропорционально числу инфицированных. Иначе говоря, каждый заболевший через некоторое время должен поправиться.
Таким образом, мы видим, что заболевание в модели SIR развивается по схеме «восприимчивые становятся инфицированными, потом выздоравливают». Условие
описывает неизменность численности популяции (и не учитывает случаи смерти от заболевания).
Графики решения выглядят так (это интерактивный график, в нем можно регулировать параметры β и γ):
Здесь синяя линия — число восприимчивых индивидов, красная — инфицированных, зеленая — переболевших.
Красный график интенсивности эпидемии, показывающей количество одномоментно болеющих индивидов, определяется параметром:
Эта величина получила название «базовый коэффициент воспроизведения».
В 2012 году британская компания Ndemic Creation выпустила игру “Plague Inc.”, биологический симулятор эпидемий. По сценарию игры необходимо развить одно из выбранных заболеваний настолько, чтобы оно уничтожило жизнь на Земле.
На базовых уровнях игры распространение заболевания происходит в точном соответствии с моделью SIR. Если принять, что вместо выздоровления происходит гибель организма, то зеленый график становится графиком числа умерших — каждый игрок может увидеть его при успешном прохождении уровня.
“Plague Inc.” является одной из лучших стратегий среди существующих на рынке и на протяжении многих лет пользуется популярностью у десятков миллионов поклонников.
SIR-модель перестает работать в случае необходимости учитывать неоднородность популяции (например, различную плотность населения в разных районах), разные пути передачи инфекции и факторы случайности, значимые в малых популяциях и на начальной фазе распространения заболевания.
Развитием модели SIR стали, в частности, следующие модели:
- SIRS — «восприимчивые — инфицированные — выздоровевшие — восприимчивые»: модель описания динамики заболеваний c временным иммунитетом (выздоровевшие индивиды со временем снова становятся восприимчивыми);
- SEIR — «восприимчивые — контактные (Exposed) — инфицированные — выздоровевшие»: модель для описания распространения заболеваний с инкубационным периодом;
- SIS — «восприимчивые — инфицированные — восприимчивые»: модель для распространения заболевания, к которому не вырабатывается иммунитет;
- MSEIR — «наделенные иммунитетом от рождения (Maternally derived immunity) — восприимчивые — контактные — инфицированные — выздоровевшие»: модель, учитывающая иммунитет детей, приобретенный внутриутробно.
Модель SEIR
Именно по этой модели развиваются по-настоящему опасные эпидемии, поскольку длительный инкубационный период может препятствовать своевременному обнаружению заболевания. В этом случае есть риск, что заболевание охватит значительное число индивидуумов в популяции.
Инфекция развивается по схеме «восприимчивые» — «контактные» — «инфицированные» — «выздоровевшие» и описывается системой уравнений:
где
- μ — уровень смертности;
- α — величина, обратная среднему инкубационному периоду заболевания;
- E(t) — численность индивидов — носителей заболевания в момент времени t.
Как и в модели SIR, первое уравнение системы означает, что изменение числа здоровых (и при этом восприимчивых к заболеванию) индивидуумов уменьшается со временем пропорционально числу контактов с инфицированными. После заражения здоровый индивид переходит в состояние контактного по данному заболеванию, или носителя инфекции.
Второе уравнение вносит задержку по времени при переходе из состояния контактного в состояние инфицированного (больного). Это происходит через время, равное инкубационному периоду болезни.
Третье уравнение описывает переход из состояния «контактный» в состояние «инфицированный».
Четвертое уравнение демонстрирует, что число выздоровевших в единицу времени пропорционально числу инфицированных. При этом в каждом состоянии индивидуум может погибнуть, что учитывает коэффициент μ в каждом уравнении.
Иначе говоря, в каждый момент времени каждый индивидуум с определенной вероятностью может заразиться, через некоторое время — заболеть, а затем поправиться либо погибнуть.
Численность популяции N = S + E + I + R при этом не является постоянной с течением времени.
Интенсивность эпидемии описывает базовый коэффициент воспроизведения:
49 из 100
Желающие воочию увидеть, как «работают» модели распространения эпидемии, могут сделать это с помощью симулятора, созданного канадским исследователем Беном Бэбкуком.
Например, построим симуляцию, использовав следующие параметры:
- На площади 20 × 20 размещены 100 индивидуумов (заполнение 25 процентов);
- Индивидуумы на каждом шаге перемещаются с вероятностью 80 процентов, в случае контакта здорового индивидуума (зеленая точка) с инфицированным (красная точка) происходит заражение с вероятностью 50 процентов;
- Заражение длится 6 дней, в течение которых возможна смерть организма с вероятностью 50 процентов либо полное выздоровление с приобретением иммунитета;
- В момент начала эпидемии примем, что инфицированы 5 процентов организмов и еще 5 процентов имеют иммунитет;
- Модель дискретная, один день = один шаг модели.
С помощью моделирования мы видим, что 49 организмов из 100 погибнут в результате эпидемии длительностью в 29 дней.
Epidemic Simulator позволяет моделировать результаты эпидемий при различных плотности популяции, заразности, летальности и устойчивости заболеваний.
Модель SIS
Модель «восприимчивые — инфицированные — восприимчивые» применима при анализе распространения заболеваний, к которым не вырабатывается иммунитет, например гриппа и ОРВИ. Она описывается следующей системой уравнений:
Вместе первое и второе уравнение означают, что число здоровых и больных в сумме не меняется, а число заражений пропорционально числу контактов здоровых и больных.
Второе уравнение описывает изменение числа заболевших в единицу времени, которое пропорционально числу заражений (числу контактов здоровых и инфицированных индивидуумов) за вычетом числа выздоровлений.
График развития заболевания в соответствии с этой моделью выглядит так (график интерактивный, можно регулировать параметры β и γ):
Синяя линия — число восприимчивых индивидов, красная — инфицированных в текущий момент.
Модель MSEIR
Эта модель, построенная для заболевания с инкубационным периодом и учитывающая иммунитет детей, приобретенный внутриутробно, — одна из самых сложных для анализа в силу наличия большого числа независимых параметров. Система уравнений для нее выглядит так:
От ранее рассмотренных моделей эта система уравнений отличается тем, что учитывает рождение детей, вероятность заражения которых растет со временем по мере утраты ими иммунитета, приобретенного внутриутробно. Эти зависимости описаны в первых двух уравнениях системы.
Приобретенный внутриутробно иммунитет может быть не у всех появившихся на свет детей, но вакцинацией можно охватить сто процентов младенцев. Введение в математическую модель этого параметра приводит к качественному изменению картины развития эпидемий.
Система уравнений для этой модели будет следующей:
где P – доля привитых младенцев, причем 0 < P < 1.
Первые два уравнения повторяют модель SIR с учетом того, что вероятность заражения привитых детей равна нулю, а значит, вероятность заражения равна вероятности, что ребенок не привит, и, в свою очередь, равна 1 — P.
Последнее уравнение учитывает смертность от других причин и позволяет рассчитать полную численность популяции.
Суперинфекции
Так в вирусологии называется процесс, при котором одна (первая) инфекция заражает организм, а после происходит заражение второй инфекцией, устойчивой к лекарствам для первой. Возникающие в клетках процессы могут приводить к мутациям и появлению новых видов инфекций и штаммов вирусов.
Большинство моделей не включают в себя возможность появления суперинфекции, поскольку это приводит к значительному усложнению задачи. При отсутствии вторичного заражения и мутаций развитие первой и второй инфекций может рассматриваться как два независимых процесса, происходящих внутри одного организма.
Создав модель суперинфекции и добавив в нее мутации, мы выйдем к текущим границам познания и приблизимся к решению основной задачи современной математической эпидемиологии.
Влияние доли прививок на распространение эпидемии очень велико. Каждый читатель может почувствовать себя Доктором Хаусом и смоделировать эпидемию в любом из городов США, используя симулятор эпидемии кори, разработанный в Питтсбургском университете.
Симулятор настроен на демонстрацию различий между двумя ситуациями: в одной уровень вакцинации младенцев P в городе составляет 80 процентов, в другом — 95 процентов. Казалось бы, разница не так значительна. Однако посмотрите, к каким результатам она может привести, например, в Нью-Йорке (красные точки — больные в настоящий момент, синие — выздоровевшие индивидуумы):
Современные математические модели позволяют очень хорошо учитывать важнейшие параметры, влияющие на распространение и интенсивность эпидемий — плотность популяции, наличие инкубационного периода у заболевания, частоту контактов, карантины, вакцинацию и другие. Результаты моделирования хорошо согласуются с экспериментальными данными. Все вместе это дает человечеству надежду на то, что пандемии прежних масштабов нам больше не грозят.
Павел Бузин
Мнение редакции может не совпадать с мнением автора
Математическая формула может пригодиться вам в самой неожиданной ситуации. Например, если вам нужно спасти человечество в разгар энергетического кризиса, предотвратить разлив нефти, сохранить шедевр в Лувре или поставить сложный трюк для голливудского блокбастера. В книге «Формулы на все случаи жизни: Как математика помогает выходить из сложных ситуаций» (издательство «Альпина Паблишер»), переведенной на русский язык Анной Туровской, британский математик Крис Уоринг рассказывает о пользе уравнений на примере не только бытовых, но и экстраординарных событий. Предлагаем вам ознакомиться с фрагментом, посвященным поиску простого числа, состоящего из ста миллионов знаков.