Зараза, гостья наша

Эпидемии издавна угрожали человечеству, и только в ХХ веке были разработаны эффективные средства борьбы с инфекциями. К числу этих средств принадлежат и системы дифференциальных уравнений — математика помогает моделировать распространение эпидемий и помогает понять, как следует с ними бороться. Это наш третий материал о самых интересных дифференциальных уравнениях и о том, где и как они применяются (предыдущие материалы можно прочитать здесь и здесь). Если вы читаете нас с телефона, переключайте страницу на десктопную версию, так вы сможете увидеть интерактивный график целиком.

В XXI веке мир уже успел столкнуться с эпидемией птичьего гриппа в Юго-Восточной Азии (в 2013 году) и вспышкой заболеваний лихорадкой Эбола в Африке (2015). Но в истории человечества бывали и куда более масштабные эпидемии.

В 551-580 годах нашей эры в Восточной Римской империи разразилась первая задокументированная пандемия чумы, получившей название Юстиниановой, в результате которой погибло около 100 миллионов человек (по другим данным, жертв могло быть значительно меньше). Спустя еще 800 лет в Евразию и Северную Африку пришла Черная смерть — пандемия чумы, сразившая от трети до половины тогдашнего населения этих регионов.

В результате Первой мировой войны, вызвавшей перемещение большого количества людей, в 1918 году распространился испанский грипп, охвативший более 500 миллионов человек и погубивший каждого десятого заболевшего. Эта пандемия стала самой масштабной за всю историю человеческой цивилизации, коснувшись до 30 процентов населения Земли.

Изучение механизмов развития и распространения эпидемий является важным способом борьбы с заболеваниями наряду с поиском новых лекарств, вакцинацией и профилактическими мерами. На помощь медикам пришли математики — для этого им пришлось объединить дифференциальные уравнения и теорию вероятности.

Первую попытку использовать математический аппарат для исследования механизмов распространения заболеваний предпринял Даниил Бернулли, ранее открывший первые законы гидродинамики. Следующий шаг сделал Уильям Фарр, применивший в 1840 году нормальное распределение к анализу смертности от оспы.

Наконец, опираясь на работы большого числа предшественников, британские ученые Андерсон Кермак и Уильям Маккендрик разработали широко применяемую сегодня модель SIR. Эта аббревиатура происходит от английских слов Susceptible — Infected — Recovered, буквально означающих «восприимчивые — инфицированные — выздоровевшие». Под «восприимчивыми» тут подразумеваются еще не инфицированные организмы.

В рамках этой модели с помощью систем дифференциальных уравнений (при условии непрерывности времени и большой популяции) или разностных уравнений (при дискретном времени и ограниченной популяции) описывается динамика распространения заболевания.

Модель SIR

SIR–модель получила заслуженную популярность в силу простоты построения и использования. Ее применение позволяет точно моделировать эпидемии гриппа и других заболеваний в больших городах, вводить новые параметры и анализировать разные сценарии.

Система уравнений SIR:

где

• S(t) — численность восприимчивых индивидов в момент времени t;
• I(t) — численность инфицированных индивидов в момент времени t;
• R(t) — численность переболевших индивидов в момент времени t;
• β — коэффициент интенсивности контактов индивидов с последующим инфицированием;
• γ — коэффициент интенсивности выздоровления инфицированных индивидов.

Первое уравнение системы означает, что изменение числа здоровых (и при этом восприимчивых к заболеванию) индивидуумов уменьшается со временем пропорционально числу контактов с инфицированными. После контакта происходит заражение, восприимчивый переходит в состояние инфицированного.

Второе уравнение показывает, что скорость увеличения числа заразившихся растет пропорционально числу контактов здоровых и инфицированных и уменьшается по мере выздоровления последних.

Третье уравнение демонстрирует, что число выздоровевших в единицу времени пропорционально числу инфицированных. Иначе говоря, каждый заболевший через некоторое время должен поправиться.

Таким образом, мы видим, что заболевание в модели SIR развивается по схеме «восприимчивые становятся инфицированными, потом выздоравливают». Условие

описывает неизменность численности популяции (и не учитывает случаи смерти от заболевания).

Графики решения выглядят так (это интерактивный график, в нем можно регулировать параметры β и γ):

Здесь синяя линия — число восприимчивых индивидов, красная — инфицированных, зеленая — переболевших.

Красный график интенсивности эпидемии, показывающей количество одномоментно болеющих индивидов, определяется параметром:

Эта величина получила название «базовый коэффициент воспроизведения».

SIR-модель перестает работать в случае необходимости учитывать неоднородность популяции (например, различную плотность населения в разных районах), разные пути передачи инфекции и факторы случайности, значимые в малых популяциях и на начальной фазе распространения заболевания.

Развитием модели SIR стали, в частности, следующие модели:

• SIRS — «восприимчивые — инфицированные — выздоровевшие — восприимчивые»: модель описания динамики заболеваний c временным иммунитетом (выздоровевшие индивиды со временем снова становятся восприимчивыми);
• SEIR — «восприимчивые — контактные (Exposed) — инфицированные — выздоровевшие»: модель для описания распространения заболеваний с инкубационным периодом;
• SIS — «восприимчивые — инфицированные — восприимчивые»: модель для распространения заболевания, к которому не вырабатывается иммунитет;
• MSEIR — «наделенные иммунитетом от рождения (Maternally derived immunity) — восприимчивые — контактные — инфицированные — выздоровевшие»: модель, учитывающая иммунитет детей, приобретенный внутриутробно.

Модель SEIR

Именно по этой модели развиваются по-настоящему опасные эпидемии, поскольку длительный инкубационный период может препятствовать своевременному обнаружению заболевания. В этом случае есть риск, что заболевание охватит значительное число индивидуумов в популяции.

Инфекция развивается по схеме «восприимчивые» — «контактные» — «инфицированные» — «выздоровевшие» и описывается системой уравнений:

где

• μ — уровень смертности;
• α — величина, обратная среднему инкубационному периоду заболевания;
• E(t) — численность индивидов — носителей заболевания в момент времени t.

Как и в модели SIR, первое уравнение системы означает, что изменение числа здоровых (и при этом восприимчивых к заболеванию) индивидуумов уменьшается со временем пропорционально числу контактов с инфицированными. После заражения здоровый индивид переходит в состояние контактного по данному заболеванию, или носителя инфекции.

Второе уравнение вносит задержку по времени при переходе из состояния контактного в состояние инфицированного (больного). Это происходит через время, равное инкубационному периоду болезни.

Третье уравнение описывает переход из состояния «контактный» в состояние «инфицированный».

Четвертое уравнение демонстрирует, что число выздоровевших в единицу времени пропорционально числу инфицированных. При этом в каждом состоянии индивидуум может погибнуть, что учитывает коэффициент μ в каждом уравнении.

Иначе говоря, в каждый момент времени каждый индивидуум с определенной вероятностью может заразиться, через некоторое время — заболеть, а затем поправиться либо погибнуть.

Численность популяции N = S + E + I + R при этом не является постоянной с течением времени.

Интенсивность эпидемии описывает базовый коэффициент воспроизведения:

49 из 100

Желающие воочию увидеть, как «работают» модели распространения эпидемии, могут сделать это с помощью симулятора, созданного канадским исследователем Беном Бэбкуком.

Например, построим симуляцию, использовав следующие параметры:

• На площади 20 × 20 размещены 100 индивидуумов (заполнение 25 процентов);
• Индивидуумы на каждом шаге перемещаются с вероятностью 80 процентов, в случае контакта здорового индивидуума (зеленая точка) с инфицированным (красная точка) происходит заражение с вероятностью 50 процентов;
• Заражение длится 6 дней, в течение которых возможна смерть организма с вероятностью 50 процентов либо полное выздоровление с приобретением иммунитета;
• В момент начала эпидемии примем, что инфицированы 5 процентов организмов и еще 5 процентов имеют иммунитет;
• Модель дискретная, один день = один шаг модели.

С помощью моделирования мы видим, что 49 организмов из 100 погибнут в результате эпидемии длительностью в 29 дней.

Epidemic Simulator позволяет моделировать результаты эпидемий при различных плотности популяции, заразности, летальности и устойчивости заболеваний.

Модель SIS

Модель «восприимчивые — инфицированные — восприимчивые» применима при анализе распространения заболеваний, к которым не вырабатывается иммунитет, например гриппа и ОРВИ. Она описывается следующей системой уравнений:

Вместе первое и второе уравнение означают, что число здоровых и больных в сумме не меняется, а число заражений пропорционально числу контактов здоровых и больных.

Второе уравнение описывает изменение числа заболевших в единицу времени, которое пропорционально числу заражений (числу контактов здоровых и инфицированных индивидуумов) за вычетом числа выздоровлений.

График развития заболевания в соответствии с этой моделью выглядит так (график интерактивный, можно регулировать параметры β и γ):

Синяя линия — число восприимчивых индивидов, красная — инфицированных в текущий момент.

Модель MSEIR

Эта модель, построенная для заболевания с инкубационным периодом и учитывающая иммунитет детей, приобретенный внутриутробно, — одна из самых сложных для анализа в силу наличия большого числа независимых параметров. Система уравнений для нее выглядит так:

От ранее рассмотренных моделей эта система уравнений отличается тем, что учитывает рождение детей, вероятность заражения которых растет со временем по мере утраты ими иммунитета, приобретенного внутриутробно. Эти зависимости описаны в первых двух уравнениях системы.

Приобретенный внутриутробно иммунитет может быть не у всех появившихся на свет детей, но вакцинацией можно охватить сто процентов младенцев. Введение в математическую модель этого параметра приводит к качественному изменению картины развития эпидемий.

Система уравнений для этой модели будет следующей:

где P – доля привитых младенцев, причем 0 < P < 1.

Первые два уравнения повторяют модель SIR с учетом того, что вероятность заражения привитых детей равна нулю, а значит, вероятность заражения равна вероятности, что ребенок не привит, и, в свою очередь, равна 1 — P.

Последнее уравнение учитывает смертность от других причин и позволяет рассчитать полную численность популяции.

Влияние доли прививок на распространение эпидемии очень велико. Каждый читатель может почувствовать себя Доктором Хаусом и смоделировать эпидемию в любом из городов США, используя симулятор эпидемии кори, разработанный в Питтсбургском университете.

Симулятор настроен на демонстрацию различий между двумя ситуациями: в одной уровень вакцинации младенцев P в городе составляет 80 процентов, в другом — 95 процентов. Казалось бы, разница не так значительна. Однако посмотрите, к каким результатам она может привести, например, в Нью-Йорке (красные точки — больные в настоящий момент, синие — выздоровевшие индивидуумы):

Современные математические модели позволяют очень хорошо учитывать важнейшие параметры, влияющие на распространение и интенсивность эпидемий — плотность популяции, наличие инкубационного периода у заболевания, частоту контактов, карантины, вакцинацию и другие. Результаты моделирования хорошо согласуются с экспериментальными данными. Все вместе это дает человечеству надежду на то, что пандемии прежних масштабов нам больше не грозят.

Павел Бузин