Функционирует при финансовой поддержке Федерального агентства по печати и массовым коммуникациям (Роспечать)

Как тебе такое, Илон Маск?

Объясняем шутку из твиттера про дедушку и лагранжиан квантовой теории поля

Считаете, что вы выше глупых картинок в интернете? А что вы скажете о шуточке, над которой может посмеяться только тот, кто предварительно хорошо разобрался в теории струн? Недавно Илон Маск опубликовал в твиттере мем с четырьмя строчками терминов из теоретической физики, который впервые появился в сообществе Meme-Theoretic Theoretical Physics Memes. Редакция N + 1 решила разобраться в упоминаемых в меме теориях — оказалось, что речь идет о действительно переднем крае физики. Надеемся, что после нашего объяснения замечание Маска о малопонятности математических шуток станет чуть менее релевантным.

Илон Маск прокомментировал опубликованный им мем словами «Современные дети не признают авторитетов». И добавил: «Математические изыски привлекают маленькую аудиторию».

Попробуем разобраться с этими математическими изысками.

Насколько глубокие знания современных физики и математики необходимы для понимания обсуждаемых проблем? Воспользуемся следующей классификацией уровней сложности задач:

  1. первый уровень сложности — школьная программа;
  2. второй уровень — то, что изучают на первых курсах физических факультетов университетов;
  3. третий уровень — выпускники университета;
  4. четвертый уровень — аспирантура;
  5. пятый уровень — ученая степень по физике;
  6. шестой уровень — передний край исследований; если вы работаете на этом уровне — вы входите в число нескольких сотен человек на Земле, влияющих на то, какой будет наша цивилизация через несколько десятков лет;
  7. задачи седьмого и выше уровней сложности — наука будущего.

Начнем наше изложение со второго уровня.


Лагранжиан (уровни 2 и 3)

Одним из базовых понятий в теории поля, в том числе — квантовой теории поля, является функция Лагранжа L(φi) — функция, описывающая развитие системы в обобщенных координатах (то есть к пространственным координатам и времени добавляются внутренние степени свободы, колебания и вращения, электрические и другие параметры). В современной физике также работают не с самой функцией Лагранжа, а с ее плотностю, которую именуют лагранжианом.

С функцией Лагранжа связан принцип наименьшего действия S:

где φi — обобщенные координаты (например, координаты частиц), s — множество параметров системы, физическая величина S, называемая действием, связана с функцией Лагранжа через интеграл:

Действие является мерой движения системы, а принцип наименьшего действия демонстрирует, что природа ленива по своей сути и не допускает лишних движений.

Если мы знаем функцию Лагранжа для системы (а для описания полей удобнее использовать лагранжиан поля как плотность функции Лагранжа), то мы имеем полное описание такой физической системы и законов, описывающих его.

В классической механике функцию Лагранжа обычно определяют в виде разности кинетической и потенциальной энергии механической системы.

где x — вектор, определяющий координаты частицы массы m, а V — потенциальная энергия поля в точке, определяемой вектором x.

Подставляем функцию Лагранжа в уравнение для действия, находим экстремум функционала, используя аппарат вариационного исчисления (применение которого аналогично применению дифференцирования) и получаем второй закон Ньютона:

где ∇V — градиент потенциала поля, вектор, показывающий направление наибольшего изменения поля.

В квантовой теории поля лагранжиан описывается в фазовом пространстве аналогично с введением переменных, описывающих квантовомеханические процессы — заряды, спины, плотность вероятности и другие величины.

В квантовой электродинамике лагранжиан определяется как

В квантовой хромодинамике (описывающей сильное взаимодействие) — так:

Где ψ (x, t) — четырехкомпонентная комплексная волновая функция, m — масса частицы, F — тензор напряженности электромагнитного / глюонного поля соответственно, D — калибровочная ковариантная производная.

Мы незаметно подошли к третьему уровню сложности. Отметим, что инвариантность лагранжиана для систем, обладающих функционалом действия, по отношению к некоторой непрерывной группе преобразований приводит по теореме Нётер к следующим соответствиям:

  • однородности времени соответствует закон сохранения энергии;
  • однородности пространства — закон сохранения импульса;
  • изотропии пространства — закон сохранения момента импульса;
  • за закон сохранения электрического заряда отвечает калибровочная симметрия, и так далее.

Как видим, в природе царят гармония и простота.

Мы немного разобрались с лагранжианом квантовой теории поля, о котором говорит дедушка из твита. Теперь посмотрим на реакцию внука. О чем он говорит?

Внук находится на шестом уровне сложности (передний край исследований!), занимаясь изучением свойств шестимерной (2,0) суперконформной теории поля, которая не имеет Лагранжева описания, голографически дуальна M-теории с многообразием AdS7 × S4 и в случае компактификации по S1 приводит к пятимерной суперсимметричной теории Янга-Миллса.

Попробуем популярно описать физическое представление этой задачи и продолжим со второго уровня сложности.

Основы основ — корпускулярно-волновой дуализм и принцип неопределенности Гейзенберга — приводят к тому, что местоположение частицы удобнее всего описывать комплексной функцией, дающей нам плотность вероятности нахождения частицы в заданном объеме.

Если в уравнении Шрёдингера учесть релятивистские эффекты и пренебречь гравитационным взаимодействием, то можно сразу перейти к рассмотрению уравнения Клейна-Гордона:

Где ψ — комплексная волновая функция, а квадрат модуля волновой функции представляет собой плотность вероятности нахождения частицы в заданном объеме.

При этом действие будет представимо в виде:

Выражение в скобках — это лагранжиан (то есть плотность функции Лагранжа), о котором говорит дедушка.

В реальности природа оказалась гораздо сложнее.

Поле является непрерывной системой с очень большим (можно считать, бесконечным) числом степеней свободы, поэтому функция Лагранжа определяется пространственным интегралом от плотности функции Лагранжа.

При этом поле описывается функцией ψ, которая может быть вещественной или комплексной скалярной, векторной, спинорной или иной величиной, на которую налагаются определенные ограничения в соответствии с наблюдаемой картиной мира.

Взаимодействие частицы и поля (или частиц) может быть записано в виде перехода из начального состояния |1> в конечное состояние |2>: P|1> = |2>, где P — оператор, описывающий физический процесс взаимодействия.

Оператор P может быть представим в виде функции, но гораздо удобнее и почти всегда применяется матричная запись, позволяющая описать взаимодействие через суперпозиции состояний.

Для решения уравнения Клейна-Гордона были разработаны специальные методы, основанные на использовании законов сохранения. При этом сохранение заряда в силу теоремы Нётер было добавлено в теорию в виде требования калибровочной инвариантности.


Симметрии в физическом мире и теория групп (уровни 2 и 3)

Так как результат взаимодействия должен быть одинаков в любой системе отсчета (принцип Лоренца), не зависеть от того, под каким углом мы смотрим на систему, не меняться при замене всех зарядов на противоположные, быть обратимым во времени, то это приводит к возникновению дополнительных требований (симметрий) к нашим операторам взаимодействия.

По этой причине для описания квантово-механических процессов оказалось очень удобным применение математического аппарата теории групп, что позволяет снова упростить запись физических законов, приведя их к наглядной и компактной форме.

С помощью аппарата теории групп можно выразить очень большое число математических преобразований — от умножения чисел, поворота и отражения до описания многомерных пространств в квантовой теории. Благодаря универсальности математического аппарата можно сопоставить физические поля и соответствующие им группы.

В силу важности для понимания дальнейшего изложения остановимся подробнее на описании абелевых групп. По определению, группа — множество, на котором определена ассоциативная бинарная операция, причем для этой операции имеется нейтральный элемент (аналог единицы для умножения), и каждый элемент множества имеет обратный.

Группа, в которой любые два элемента коммутируют (то есть обладают свойством перестановки X × Y = Y × X), называется коммутативной или абелевой.

Группой Ли называется группа, которая одновременно является дифференцируемым многообразием (то есть имеет гладкую структуру — мы ведь помним про свойства нашего пространства!) над полем K (в роли последнего могут выступать поля действительных или комплексных чисел), причем умножение элементов группы и операция взятия обратного элемента оказываются гладкими отображениями.

Рассмотрим живой пример — группы вращений SO(3) в трехмерном эвклидовом пространстве — совокупность всех видов вращений твердого тела. Элементом группы является поворот на любой угол. Единичному элементу соответствует отсутствие поворота, обратному элементу — поворот в противоположном направлении на тот же угол.

Если мы зафиксируем одну из осей, то мы сможем перейти к группе U(1) — мультипликативной абелевой группе всех комплексных чисел, равных по модулю единице. Группе U(1) соответствуют любые вращения Земли вокруг оси север-юг. Также группа U(1) описывает распространение электромагнитной волны, которая в каждый момент времени имеет соответствующую фазу.


Стандартная модель (уровни 4 и 5)

Мы переходим на четвертый уровень сложности и вплотную приближаемся к изучению основ Стандартной модели, в рамках которой удалось объединить сильное, слабое и электромагнитное взаимодействия.

Стандартная модель была создана в рамках объединения теории Янга-Миллса (калибровочной теории с неабелевой калибровочной группой), позволившей разработать теорию электрослабых взаимодействий на основе группы SU(2) × U(1) и квантовую хромодинамику (теорию сильных взаимодействий) на основе группы SU(3).

Группа SU(2) — специальная унитарная группа, связанная с вращениями в трех измерениях, имеет в качестве базиса матрицы Паули.

У более абстрактной группы SU(3), описывающей вращения в восьми измерениях, базисом являются матрицы Гелл-Манна, а ее применение позволило описать структуру адронов (протона, нейтрона, мезонов и других элементарных частиц) посредством добавления в теорию (с последующим экспериментальным подтверждением) новых фундаментальных частиц — кварков и глюонов.

Теория Янга-Миллса — обобщение уравнений Максвелла, специальный пример калибровочной теории поля с неабелевой группой калибровочной симметрии. Уравнения являются частью теории Янга-Миллса, которая была разработана в 1950-е годы физиками Чженьнин Янгом и Робертом Миллсом.

Неабелевость группы означает, что поля — переносчики взаимодействий Янга-Миллса — могут взаимодействовать сами с собой и друг с другом, при этом кванты полей Янга-Миллса — векторные частицы (бозоны со спином 1) и обладают нулевой массой. Однако с помощью механизма спонтанного нарушения симметрии физические поля Янга-Миллса могут приобретать ненулевую массу.

Нелинейность уравнений Янга-Миллса приводит к тому, что их составление и решение — непростая задача. Для примера рассмотрим центрально-симметрическую метрику (это один из самых простых вариантов), определяемую выражением:

ψ = −edt2 + edr2 + e(2 + sinθ2)

Вывод уравнений Янга-Миллса для нее включает следующие этапы:

  1. Вычисление пфаффовых форм Кристоффеля ωki = γkliωl заданной квадратичной формы;
  2. Вычисление по формуле Rji = dωji + ωkiΛωjk внешних форм римановой кривизны Rji;
  3. Нахождение тензора Риччи Rjm;
  4. Вычисление скалярной кривизны R = ηijRij, коэффициентов bjm пфаффовых форм ωi;
  5. Вычисление внешних форм конформной кривизны Φi по формуле Φi = dωiikΛωk и Φij по формуле Φij = Rji + ωiΛωj + ηimηjnωmΛωn
  6. Найти ⁎Φi и ⁎Φij
  7. Проверить выполнимость уравнений Янга-Миллса d⁎Φi + ωkΛ⁎Φki − ⁎ΦkΛωik = 0.

Получаем уравнения Янга-Миллса с граничными условиями (дальше эти уравнения необходимо решить):

Поиск аналитических решений уравнений Янга-Миллса, несомненно, относится к задачам уровня сложности не ниже пятого. Решения в общем виде найдены для очень небольшого числа случаев, включая вышеприведенный случай с центрально-симметрической метрикой. В ряде случаев применима теория возмущений, в общем виде метод решения неизвестен.

Также неизвестно, как нелинейность уравнений приводит к наблюдаемому в экспериментах конфайнменту в сильных взаимодействиях. Решение уравнений Янга-Миллса в общем случае является одной из семи математических «Проблем тысячелетия» Математического института Клэя.

Отдельно отметим решенное в процессе построения теории соответствие теории и эксперимента. Наблюдаемое в экспериментах нарушение четности CP (замена частиц на античастицы с одновременным зеркальным отражением) в слабых взаимодействиях играет важную роль в теориях космологии, которые пытаются объяснить преобладание материи над антиматерией в нашей Вселенной.

В 1967 году наш соотечественник Андрей Сахаров показал, что CP-нарушение является одним из необходимых условий для практически полного уничтожения антивещества на раннем этапе развития Вселенной.

По этой причине создать отдельную теорию слабого взаимодействия не удалось, слабое и электромагнитное взаимодействие были объединены при помощи калибровочной группы SU(2) × U(1). Этой группе соответствуют три калибровочных бозона — фотон (электромагнитное взаимодействие), W- и Z-бозоны (слабое взаимодействие).

В Стандартной модели калибровочные бозоны слабого взаимодействия получают массу из-за спонтанного нарушения электрослабой симметрии от SU(2) × U(1), вызванного механизмом Хиггса.

Для наглядного описания природы калибровочных полей существует иллюстрация, приведенная в книге Шинтана Яу и Стива Надиса «Теория струн и скрытые измерения Вселенной». Представим, что у нас два человека едут на роликах рядом, кидая друг другу мяч. Кинувший мяч отклоняется в противоположном направлении, поймавший мяч — отклоняется в направлении полета мяча.

Если наблюдать это взаимодействие из самолета, летящего достаточно высоко, чтобы не был виден мяч, то может показаться, что между людьми действует сила отталкивания. Но если посмотреть на действие отталкивающей силы с очень близкого расстояния, где эта сила «квантована», то можно увидеть, что движение людей вызвано дискретным объектом — мячом, а не каким-то невидимым полем.

В Стандартной модели материальные частицы похожи на людей на роликах, а силовые частицы — фотоны, глюоны и бозоны (W+, W- и Z) — на мячи, которые они кидают друг другу.

Отметим, что в таком виде теория предсказывала существование только безмассовых бозонов, что противоречило экспериментальным данным. Поэтому в Стандартную модель потребовалось добавить дополнительное поле Хиггса, переносчик которого, бозон Хиггса, вызывает появление инертной массы для бозонов.

Бозон Хиггса был добавлен в Стандартную модель в 1964 году, а его обнаружение спустя почти полвека позволило завершить построение Стандартной модели, и она получила необходимые экспериментальные подтверждения. «Таблица Менделеева» для Стандартной модели выглядит так:

Частицами-переносчиками взаимодействий (калибровочными частицами) являются бозоны:

  • 8 глюонов для сильного взаимодействия (группа симметрии SU(3));
  • 3 тяжелых калибровочных бозона (W+, W−, Z0) для слабого взаимодействия (группа симметрии SU(2));
  • один фотон для электромагнитного взаимодействия (группа симметрии U(1)).

Введение калибровочных полей потребовалось, поскольку из экспериментов следовало, что так работает природа. В результате получилась теория с калиброванными симметриями, что в свою очередь позволяет сохранять инвариантность физики.


На пути к Единой теории поля (уровень 6)

Уже на этом уровне описания мы увидели очень большую сложность построения единой теории поля, и возникает вопрос: зачем нам все это нужно? В современной физике формулируется 10 основных вопросов, ответы на которые должна дать единая теория поля:

  1. Большой взрыв — что во Вселенной взорвалось и что дальше так быстро расширилось (инфлатировало)?
  2. Барионная асимметрия. Почему существует материя? Если вся материя родилась из энергии, то где антивещество, которое должно было родиться вместе с веществом?
  3. Почему возникает и в чем заключается связь между силами, частицами и энергией?
  4. Почему фундаментальные константы (скорость света, заряд электрона, постоянная Планка и другие) такие, какие есть?
  5. Что происходит с материей и информацией в черных дырах?
  6. Физическая природа квантовой механики. На физическом уровне законы квантовой механики установлены и проверены с высокой точностью. Но в настоящее время мы имеем только описание без понимания физической природы.
  7. Проблема темной материи, превышающей по массе видимую часть Вселенной.
  8. Проблема темной энергии, количество которой превышает количество видимой и темной материи в несколько раз.
  9. Почему время движется только в одну сторону?
  10. Конец Вселенной — какая судьба ждет ее в будущем?

Поэтому следующим логичным шагом в развитии теории поля было объединение Стандартной модели и теории гравитации.

Пришло время обсудить задачу шестого уровня сложности. В природе существуют объекты, в которых объединены квантовомеханические и релятивистские эффекты — это нейтронные звезды и черные дыры. Предсказываемые этой же теорией «белые дыры», в которые ничто не может попасть, пока не обнаружены.

Возможность представления силы тяжести в виде искривления пространства-времени позволила применить методы дифференциальной топологии.

В квантовой теории гравитации тензор энергии-импульса материи (правая часть уравнений Эйнштейна) становится квантовым оператором, и возникает необходимость в квантовании геометрии самого пространства-времени, но физический смысл такого квантования в настоящее время неизвестен.

В качестве единицы масштаба для определения размера кванта пространства принимается планковская длина, объединяющая фундаментальные константы — скорость света, постоянную Планка и гравитационную постоянную.

Планковская длина равна 10-35 метра, при этом в размере наблюдаемой Вселенной укладывается примерно 1060 планковских длин.

В 80-90-е годы прошлого столетия активно развивалась теория струн, считающаяся главным кандидатом на роль теории квантовой гравитации.

Теория струн предполагает, что фундаментальные строительные блоки природы являются не точечными частицами, а крошечными одномерными нитями, называемыми струнами, которые встречаются как в открытой, так и в закрытой (петли) форме.

Были детально разработаны шесть типов струнных теорий: бозонная, типа I, типа IIA, типа IIB, гетеротическая теория Е8 × Е8 и гетеротическая теория SO(32), и все они связаны между собой.

Бозонная теория предсказывала существование безмассовых частиц (в природе не обнаружены), существование тахионов (частиц, всегда движущихся со скоростью выше скорости света, — таким частицам соответствует «мнимая» масса), 25 измерений пространства и невозможность существования таких частиц, как фермионы (протоны, электроны и другие).

Остальные 5 теорий включали гипотезу о существовании и взаимодействии протяженных объектов на масштабах порядка планковской длины, описывающих объекты различных типов в десятимерном пространстве со свернутыми измерениями:

     Тип                                                          Характеристика
     I      Включает суперсимметрию; струны как открытые, так и замкнутые; отсутствует тахион; групповая симметрия — SO(32)
     IIA      Включает суперсимметрию; струны только замкнутые; отсутствует тахион; безмассовые фермионы нехиральны
     IIB      Включает суперсимметрию; струны только замкнутые; отсутствует тахион; безмассовые фермионы хиральны
     HO      Включает суперсимметрию; струны только замкнутые; отсутствует тахион; теория гетеротическая: струны, колеблющиеся по часовой стрелке, отличаются от струн, колеблющихся против; групповая симметрия — SO(32)
     HE      Включает суперсимметрию; струны только замкнутые; отсутствует тахион; теория гетеротическая: струны, колеблющиеся по часовой стрелке, отличаются от струн, колеблющихся против; групповая симметрия — E8 × E8

Хиральность — свойство объекта, когда объект не совпадает со своим зеркальным отражением (как левая и правая руки).

При этом свернутые измерения должны быть многообразиями Калаби-Яу — компактными комплексными многообразиями с кэлеровой метрикой, для которой тензор Риччи обращается в ноль (и это становится уже по-настоящему очень сложно).

Введем важные для дальнейшего изложения определения.

В начале 1950-х годов геометр Эудженио Калаби высказал гипотезу, названную его именем, согласно которой пространства, удовлетворяющие определенным топологическим требованиям, могут также удовлетворять строгому геометрическому условию (условию кривизны), известному как условие риччи-плоского пространства.

Кривизна Риччи — вид кривизны, который в общей теории относительности Эйнштейна связан с потоком вещества в пространстве-времени. Гипотеза Калаби охватывает и более общие случаи, когда кривизна Риччи не равна нулю.

Дуализм — ситуация, когда две теории, по крайней мере внешне кажущиеся различными, приводят к одним и тем же физическим следствиям.

Голономия — понятие в дифференциальной геометрии, связанное с кривизной и предполагающее перемещение вектора по замкнутому контуру наподобие параллельного переноса. Голономия поверхности (или многообразия) является мерой поворота касательного вектора при перемещении его вдоль петли на этой поверхности.

Конформная инвариантность — преобразование, сохраняющее углы. Понятие конформной инвариантности включает и масштабную инвариантность, поскольку изотропное и однородное растяжение или сжатие пространства также сохраняет углы.

Квантовая теория поля, сохраняющая масштабную и конформную инвариантность, получила название Конформная теория поля. Если в обычной квантовой теории величина сильного взаимодействия, удерживающего кварки, изменяется с расстоянием, то в конформной теории поля его величина остается одинаковой на любом расстоянии, что может быть одним из объяснений явления конфайнмента.

Кэлерово многообразие — комплексное многообразие, названное в честь геометра Эриха Кэлера, обладающее особым видом голономии, которая сохраняет комплексную структуру многообразия при операции параллельного переноса.

Антидеситтеровское пространство — максимально симметричное односвязное псевдориманово многообразие постоянной отрицательной кривизны.

Пространство Калаби-Яу (многообразие Калаби-Яу) — компактное комплексное многообразие с кэлеровой метрикой, для которой тензор Риччи обращается в ноль. Эти пространства являются комплексными, а значит, должны быть четной размерности. Особый интерес для теории струн представляет случай шестимерного пространства.

Теория струн взяла на вооружение идею Калуцы-Клейна о скрытом «дополнительном» измерении и значительно расширила ее. Если теория струн верна, то в любой точке четырехмерного пространства-времени присутствует скрытое шестимерное пространство Калаби-Яу.

Со скрытыми измерениями тесно связано понятие Компактификация — сворачивание пространства таким образом, что оно становится компактным, или имеющим конечную протяженность. В теории струн различные способы сворачивания, или компактификации, дополнительных измерений приводят к различной физике.

Парадоксальная ситуация, при которой существовали пять конкурирующих теорий струн — типа I, типа IIA, типа IIB, гетеротическая SO(32) и гетеротическая Е8 × Е8, каждая из которых предполагала наличие различных групп симметрии и уникального набора допущений о замкнутости, хиральности и так далее, разрешилась в 1995 году.

Американский физик Эдвард Виттен высказал гипотезу о том, что все пять струнных теорий являются предельными случаями более общей М-теории в 11-мерном пространстве и попарно связаны между собой преобразованием дуальности — один из пределов первой теории будет эквивалентен второй теории.

Основные и наиболее изученные дуальности — T- и S-дуальности. Преобразования Т-дуальности существуют в пространствах, в которых по крайней мере одна область имеет топологию окружности. При таком преобразовании радиус R этой области меняется на 1/R.

S-дуальность обеспечивает обмен между слабовзаимодействующим и сильновзаимодействующим поведением объекта.

Объединение пяти теорий привело к тому, что фундаментальными объектами теперь стали многомерные мембраны «браны» — протяженные двух- и более мерные (n-брана) объекты.

Если эта теория верна, то пространство представимо в виде находящихся в постоянном движении и взаимодействии бран, образующих планковскую пену в пространстве из 4 привычных нам измерений и 7 свернутых измерений. Таким образом Эдвард Виттен заложил основы «второй струнной революции».

M-теория позволяет получить описание картины мира на планковском (10-35 метра) и на микро- и макроуровнях.

В M-теории многообразие AdS7 — это антидеситтеровское пространство, в котором свернуты 7 измерений, а S4 — наше четырехмерное пространство.

При этом описание инфляционного расширения Вселенной (происходившего быстрее скорости света) в M-теории трактуется как переход от Вселенной с 11 свернутыми измерениями к Вселенной с 7 свернутыми измерениями. То есть наши 4 измерения развернулись в момент Большого взрыва.

И в этом месте мы находим очень интересные параллели. В некоторых случаях теория гравитации, такая как теория струн, может быть полностью эквивалентна стандартной квантовой теории поля. Эту дуальность двух теорий обнаружил в 1997 году физик Хуан Малдасена.

Дуальность получила название AdS/CFT-соответствия (anti-de Sitter/conformal field theory correspondence) и позволила связать теорию квантовой гравитации с теорией, в которой гравитации нет вообще.

При очень слабой связи сеть из D-бран, обертывающих циклы в многообразии Калаби-Яу, не влияет на оцениваемое гравитационное притяжение и лучше описывается квантовой теорией поля. Однако при сильной связи этот конгломерат из бран лучше рассматривать как черную дыру — систему, которую можно описать теорией, включающей только гравитацию.

Анализ этой проблемы позволил приблизиться к разрешению «парадокса черной дыры», суть которого — в потере информации при падении вещества за горизонт событий, запрещаемой общими принципами квантовой механики.

Возможное решение состоит в том, что вся информация, содержащаяся в некой области пространства, имеет однозначное соответствие с состоянием границы этой области. Эта взаимосвязь получила название «принцип голографической дуальности».

Голографическая дуальность позволяет легко провести вычисления, которые практически невозможны в квантовой теории поля, — например, найти квантовые поправки к эффекту Швингера (рождения заряженных частиц в сильном электрическом поле). Традиционный способ решения таких задач — использование теории возмущений — не позволяет получить точное решение.

Голографической дуальности посвящена подробная статья «Двойник черной дыры» на нашем сайте.

Возвращаясь к диалогу между дедушкой и внуком в начале нашей статьи, добавим, что M-теория предсказывает существование шестимерной (2,0) конформной теории поля, связанной с ней отношением голографической дуальности (позволяющей провести взаимно однозначное соответствие между 6- и 11-мерным описанием).

Эта теория интересна тем, что в ней инвариантом являются конформные преобразования, сохраняющие углы между кривыми в точках их пересечения и, как следствие, форму бесконечно малых фигур. При этом в настоящее время совершенно неизвестно, как в этой теории должны быть определены лагранжиан и действие, определяющие базу для любых взаимодействий.

Хотите прикоснуться к физике будущего с задачами седьмого уровня сложности? Пожалуйста. Японский исследователь Юдзи Татикава обнаружил, что шестимерная (2,0) теория после компактификации S1 по одному из измерений позволяет получить пятимерную USp(2n) теорию поля с ненулевыми пятимерными углами.

И это уже совсем другая физика, не позволяющая описать законы через лагранжиан и принцип наименьшего действия и полностью несовместимая с привычным нам миром.

А собственно, какую еще физику можно было ожидать от героя Эрика Салливана, сыгравшего Дьюи в телесериале «Малкольм в центре внимания»?

UPD: После публикации материала в нем были исправлены ряд опечаток и неточностей, обнаруженных нашими читателями. Внесены правки в формулу, определяющую Лагранжиан в квантовой хромодинамике, уточнены термины при описании многообразий AdS7 × S4 и применении термина плотности лагранжиана. Большое спасибо читателям, приславшим нам свои замечания и уточнения.


Павел Бузин


Литература

Edward Witten, Geometric Langlands From Six Dimensions.

Yuji Tachikawa, On S-duality of 5d super Yang-Mills on S1.

Edward Witten, Anti De Sitter Space And Holography.

Brian Greene, String Theory on Calabi-Yau Manifolds.

Дополнительная литература:

Шинтан Яу, Стив Надис. Теория струн и скрытые измерения Вселенной.

Andrew Zimmerman Jones. String Theory For Dummies (2009). Katrin Becker, Melanie Becker и John Schwarz. String Theory And M-Theory.

Нашли опечатку? Выделите фрагмент и нажмите Ctrl+Enter.